111正弦定理.doc

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1、1.1.1正弦定理●教学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍

2、联系与辩证统一。●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。●教学过程一.课题导入BCA如图1.1-1,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动。思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?二.讲授新课[探索研究]在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角

3、三角函数中正弦函数的定义,CAB有,,又,则从而在直角三角形ABC中,思考1:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图1.1-3,(1)当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=,则,C同理可得,ba从而AcB(2)当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)思考2:还有其方法吗?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题。(证法二):过点A作单位向量,由向量的加法可得则CABj∴∴,即同

4、理,过点C作,可得从而从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即[理解定理](1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使,,;(2)等价于,,思考:正弦定理的基本作用是什么?①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如;②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]例1.在中,已知,,cm,解三角形。解:根据三角形内角和定理,;根据

5、正弦定理,;根据正弦定理,评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习:在中,已知下列条件解三角形。(1),,,(2),,例2.在中,已知cm,cm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。解:根据正弦定理,因为<<,所以,或⑴当时,,⑵当时,,应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。课堂练习第4页练习第2题。思考题:在ABC中,,这个k与ABC有什么关系?三.课时小结(由学生归纳总结)(1)定理的表示形式:;或,,(2)正弦定理的应用范围:①已知两角和任一边,求其它两边及一角;②已知两边和其

6、中一边对角,求另一边的对角。四.课后作业:P10面1、2题。

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