因式分解难题举例.doc

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1、因式分解难题举例一、巧用公式法1、分解因式：a3+b3+c3－3abc．　　解原式=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc　　　　　=［(a+b)3+c3］－3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)［(a+b)2－c(a+b)+c2]－3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)．　　说明公式a3+b3+c3－3ab=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abcc是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式其变形为　　a3+b3+c3－3abc　　　　　　　显然，当a+

2、b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3－3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．2、分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an－bn来分解．　　解因为-14-　　x16－1=(x－1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，　　所以　　

3、二、拆项、添项法　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．　　例4分解因式：x3－9x+8．　　分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．　　解法1将常数项8拆成－1+9．　　原式=x3－9x－1+

4、9　　　　=(x3－1)－9x+9　　　　=(x－1)(x2+x+1)－9(x－1)　　　　=(x－1)(x2+x－8)．　　解法2将一次项－9x拆成－x－8x．　　原式=x3－x－8x+8-14-　　　　=(x3－x)+(－8x+8)　　　　=x(x+1)(x－1)－8(x－1)　　　　=(x－1)(x2+x－8)．　　解法3将三次项x3拆成9x3－8x3．　　原式=9x3－8x3－9x+8　　　　=(9x3－9x)+(－8x3+8)　　　　=9x(x+1)(x－1)－8(x－1)(x2+x+1)　　　　=(x－1)(x2+x－8)．　　解法4

5、添加两项－x2+x2．　　原式=x3－9x+8　　　　=x3－x2+x2－9x+8　　　　=x2(x－1)+(x－8)(x－1)　　　　=(x－1)(x2+x－8)．　　例5分解因式：　　(1)x9+x6+x3－3；　　(2)(m2－1)(n2－1)+4mn；　　(3)(x+1)4+(x2－1)2+(x－1)4；(4)a3b－ab3+a2+b2+1．练习设置1.若a+b=3,a2b+ab2=－30,则a3+b3的值是（）（A）117（B）133（C）－90（D）1432.已知，那么-14-等于_____________3.把代数式分解成因式的乘积

6、，应当是。4.5．分解因式三、换元法　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．　　例1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．　　　例2分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．　　　　例3分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　解设x2+4x+8=y，则　　原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)　　　　=(x2+6x+8)(x2+5x+8)　　　　=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知

7、，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．-14-　　例4分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6．　　解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2－1)－36x2　　　　　　　=6［(x4－2x2+1)+2x2］+7x(x2－1)－36x2　　　　　　　=6[(x2－1)2+2x2]+7x(x2－1)－36x2　　　　　　　=6(x2－1)2+7x(x2－1)－24x2　　　　　　　=[2(x2－1)－3x］［3(x2－1)+8x]　　　　　　　=

8、(2x2－3x－2)(3x2+8x－3)　　　　　　　=(2x+1)(x－2)(3x－1)(x+3)．　　说明本解法实际上是将x2－1看