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1、雨中行走问题［问题的背景与提出］人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？参与这问题的因素：降雨的大小；风（降雨）的方向；路程的远近和人跑的快慢［模型的假设］［模型的建立］当雨水是迎面而来落下时,被淋湿的部分将仅仅 是人体的顶部和前方.再考虑人体前部的雨水量：［数据假设及模型求解］这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,
2、身体前后将不被淋雨.［结论］———以上参见刘来福《数学模型与数学建模》P32以下参见任善强《数学模型》P23解法二：又设于是单位时间淋雨量正比于于是单位时间淋雨量正比于总淋雨量正比于其中于是雨中行走问题抽象成如下数学问题：1.时,2.其图象为（如右图）易知无最小值.§3生产中的建模问题一.生产安排问题［问题的提出］某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务（生产
3、甲、乙产品各多少件）,使获得利润最大,并求出最大利润.［模型的建立］设安排生产甲产品件,乙产品件,相应的利润为,则此问题的数学模型为这是一个整数线性规划问题.此时由解得［模型的求解］方法一：图解法易知：当过与的交点时,取最大值.［数学规划的若干基本概念］目标函数、约束条件、决策变量、线性规划与非线性规划、二次规划、可行域、线性规划问题的标准形式、可行解、最则最优解在可行域的顶点达到.目标函数、约束条件、决策变量、线性规划与非线性规划、二次规划、可行域、线性规划问题的标准形式、可行解、最优解.结论一：线性规划
4、若存在可行域,则可行域为凸集；结论二：若可行域有界,则最优解在可行域的顶点达到.二.化学试剂配制问题［问题的提出］［问题的分析］设种化学试剂为.试验条件为：①每一组安排4种试剂；②任意两种试剂都恰好有两次被安排在同组中进行试验.现在要把以上个2－组合分成组,每一组有个2－组合,且这个2－组合恰好由4种试剂构成.［模型的建立及求解］数学模型：2.若试验方案存在,则它有多少种呢？［进一步的问题］1.试验方案存在的充要条件是什么？3.若试验方案存在,则又如何构造呢？4.若把条件改为“任意两种试剂都恰好有次被安排在
5、同组中进行试验”,则有关的结论如何？§4生活中的建模问题一.组织春游问题［问题的提出］某校组织春游,可以租用两种型号的客车：45座客车和60座客车.已知45座客车的租金为每辆250元,60座客车的租金为每辆300元；又若单独租用45座客车若干辆,则刚好坐满；若单独租用60座客车,可少租一辆且余30个座位.1.求该校参加春游的人数；2.试确定租车方式（两种型号的车各租多少辆）,使租车总费用最少.［模型的建立］1.关于该校参加春游的人数（基本模型）设该校参加春游人数为,则有如下方程（数学模型）解此方程（求解模型
6、）,得2.设使用45座客车数为,使用60座客车数为,则数学模型为………………(1)或……………(2)［模型的求解］解法一：图解法数学规划的解为令得：令得故数学模型（1）或（2）的解为解法二：用Lindo软件或Maple软件求解.二、最佳存款问题［问题的提出］中国人民银行经过几次下调存款利率,目前银行整存整取的年利率如下表（2001年6月13日抄录）：现有一位刚升入初一的学生,家长欲为其存一万元,以供6年后上大学使用.若此期间利率不变,请为其设计一种存款方案,使6年后所获收益最大,并求出最大收益.［模型的建立
7、］则本问题的数学模型为［模型的求解］方法一：于是可设.故收益最大的存款方式为存一次一年期再存一次五年期.最大收益为1697.4元.方法二：用数学软件或编程求解.三、彩电价格问题［问题的提出］某一种牌号的彩电,现在的价格为3500元,销售量为20万台.市场调查显示：如果价格每降低100元可多销2万台,但若降到2600元,则厂家销售收入恰抵生产成本；如果价格每提价100元,将少销售2.2万台,但价格提到5000元时则无人购买.假设每台彩电成本不随产量而变化,试确定彩电价格,使厂家利润最大.［模型的建立及求解］设
8、当彩电价格为元时,其销售量为万台,则.1.由条件故2.由条件故,.于是厂家销售利润（数学模型）为当时,.令得,.且.故彩电价格为3504.55元时,厂家利润最大,其最大利润为18000.45元.习题二
