拓扑基在自旋链模型研究中的应用.pdf

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1、摘要自旋链的研究是近几年来的研究热点之一，自旋链的重要性质除了因为其本身的纠缠性而被广泛应用于量子纠缠的物理实现上以外，还主要表现在量子信息领域上的应用。在许许多多的自旋链模型中，海森堡自旋链模型是最简单的一种模型，这种自旋链模型具有非常重要的研究价值，目前已经被广泛地应用于模拟量子计算机中。海森堡自旋链模型也有很多种，本文主要研究的是高维海森堡自旋链模型，高维的海森堡自旋链模型的自旋维数非常高，因此在解决多体问题时会遇到很多麻烦，例如，在求解系统基态的相关问题时，它的求解过程就是一个很繁琐的过程。然而，拓扑基子空间的维数比海森堡自旋链模型的系统本身的总维数少很多。所以可以通过研究

2、拓扑基子空间的一些性质从而确定整个系统空间的性质。本文的基础是拓扑基理论和Birman－Murakami–Wenzl代数理论，是通过它们来研究高维海森堡自旋链模型的相关性质。前人研究了拓扑基在自旋1/2系统中的实现，本文在此基础上主要研究自旋1的量子系统中拓扑的实现。本文首先介绍了拓扑基的由来和拓扑基的研究现状，并简要回顾了与拓扑基有密切联系的辫子群代数、Temperley–Lieb代数、Birman–Murakami–Wenzl代数。在自旋1/2的量子系统中，辫子群代数和Temperley–Lieb代数是研究自旋1/2系统的基础；在自旋1的量子系统中，Birman–Murakam

3、i–Wenzl代数应用比较广泛。可以通过研究Birman–Murakami–Wenzl代数找到所对应的拓扑基态，并且可以研究拓扑基态的物理意义。其次，由于自旋1的量子系统与Birman–Murakami–Wenzl代数有着密切的联系，它可以描述自旋1的海森堡自旋链模型，本章将拓扑基与Birman–Murakami–Wenzl代数建立起联系，构造正交归一拓扑基，利用拓扑基来约化Birman–Murakami–Wenzl代数，为自旋1的自旋链求解做好准备。最后，在理论上找到拓扑基和自旋链模型之间的重要联系，用Temperley–Lieb代数生成元E矩阵，辫子群代数B矩阵和单位矩阵I的线

4、性组合来构造其自旋1的自旋链的N1哈密顿量，可以得到相应的哈密顿量的矩阵表示为HBEI，其中α，β，i1iiγ都是实数，将H作用在拓扑基上得到不同的拓扑基空间表示，从而约化了哈密顿量，降低了研究自旋链模型的难度。本文主要是利用拓扑理论来研究自旋为1的海森堡XXZ和XXX自旋链模型的一些重要性质。关键词：自旋1的自旋链模型；拓扑基；Birman–Murakami–Wenzl代数IAbstractResearchofspinchainisoneofthehotresearchtopicinrecentyears,theimportantpropertiesofspin

5、chaininadditiontobeingwidelyusedbecauseofitsitselfentanglementonthephysicalimplementationofquantumentanglement,alsothemainperformanceontheapplicationinthefieldofquantuminformation.TheHeisenbergspinchainmodelisthemostsimplespinchainmodel,ithasaveryimportantresearchvalue,hasbeenusedtosimulatethe

6、quantumcomputer.Heisenbergspinchainmodelhasalotofkinds,thispapermainlystudiesthehigherdimensionalHeisenbergspinchainmodel,Thehigherthespinofdimensionchain,thehighertheHilbertspacedimension,therefore,insolvingtheproblemofmulti-bodysystemgroundstate,itisaverycomplicatedprocess.Topologybasedsubsp

7、acedimension,however,areusuallyfarlessthanthesystemofthetotalspacedimension.Studythepropertiesofthetopologybasedsubspace,therefore,notonlycanreducethedifficultyoftheresearchquestions,butalsocanhelptostudythepropertiesofthewholespinchain