十章多维标度法教学文稿.doc

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1、十章多维标度法教学文稿　　第十章多维标度法第一节引言言第二节古典多维标度法(ClassicalMDS)第三节权重多维标度(WMDS)第四节实例分析与计算实现第一节引言?在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。　　但若给你若干城市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类似这样的问题。　　?多维标度法（Mu

2、ltidimensionalScaling）就是解决这类问题的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的多元数据分析技术，简称MDS。　　?多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。　　Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在　　三、四十年代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。　　多维标度法现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。　　?多维标度法解决的问题是当n个对象（object）中各对对象之间的相似性

3、（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间中的表示（感知图PerceptualMapping），并使其尽可能与原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起的任何变形达到最小。　　多维空间中排列的每一个点代表一个对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。　　也就是说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示，而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。　　多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏三维以上空间。　　?多维标度法内容丰富、方法较多。　　按相似性（距离）数据测量尺度的不同MDS可分为度量MDS和非度量MDS。　　当利用原始相

4、似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称为度量MDS(metricMDS)，当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetricMDS)。　　按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分为古典多维标度CMDS（一个矩阵，无权重模型）、重复多维标度ReplicatedMDS（几个矩阵，无权重模型）、权重多维标度WMDS（几个矩阵，权重模型）。　　本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。　　?首先我们提出这样一个问题，表10.1是美国十城市之间的飞行距离，我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相对

5、位置，使之尽可能接近表中的距离数据呢？表表10.1美国10城市间的飞行距离1＝Atlanta,2＝Chicago,3＝Denver,4＝Houston,5＝LosAngeles6＝Miami,7＝NewYork,8＝SanFrancisco,9＝Seattle,10＝Washington.DC1234567891012345678910058712127011936604748213921825435870920940174511887131858173759712129xx7983117261631949102114947019408790137496814xx45

6、18911220193617458311374023392451347959230060411881726968233901092259427349237487131631142024511092025712408205213918589491645347259425710678244221821737102118919592734240867802329543597149412202300923205244223290　　一、相似与距离的概念?在解决上述问题之前，我们首先明确与多维标度法相关的数据概念。　　1．相似数据与不相似数据?相似数据如果用较大的数据表示非常相

7、似，用较小的数据表示非常不相似，则数据为相似数据。　　如用10表示两种饮料非常相似，用1表示两种饮料非常不相似。　　?不相似数据如果用较大的数值表示非常不相似，较小的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离数据。　　如用10表示两种饮料非常不相似，用1表示两种饮料非常相似。　　2．距离阵?定义10.1一个n??n阶的矩阵D=(dij)n??n，如果满足条件??（　　（1））??DD（　　（2））0,0,,1,2,,ijiiddijn???则矩阵D为广义距离阵，ijd称为第i点与第j。　　点间的距离。　　义定义10.2对于一个nn?的距离阵()i