保险精算CH3.ppt

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1、保险精算第三章生命表基础第三章生命年表基础3.1生命函数3.2生命表3.1生命函数3.1.1分布函数用X表示初生婴儿未来寿命的随机变量，则X的分布函数可以表述为：3.1.1分布函数Pr(X>50)Pr(x

2、X>x)E(X)D(X)3.1.2生存函数意义：新生儿能活到岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：人类寿命生存函数曲线图示例假设某人群的生存函数为求：一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率；一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率；一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率；一个活到30岁的人活不到60岁的概率。3.1.3剩余寿命定义：

3、已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数：密度函数剩余寿命的生存函数：特别：剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。剩余寿命与寿命变量图示剩余寿命：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率生存函数表示生存率和死亡率3.1.4整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数整值剩余寿命剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示常见精算符号及其含义0岁的人与x岁的人（x）：X与T(x)FX(x)

4、、SX(x)、fX(x)与FT(x)(t)、ST(x)(t)、fT(x)(t)Xq0、xp0与tqx、t

5、uqx、tpx、qx与px整值剩余寿命：K(x)＝［T(x)］整值剩余寿命的概率分布：Pr（K(x)=k）3.1.5死力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系人类的死亡效力曲线图示人类死亡效力的规律人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结构，被称为“浴盆曲线”。人类的“浴盆曲线”意味着：刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。青壮年时期是人类死亡效

6、力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。常见精算符号及其含义0岁的人与x岁的人（x）：X与T(x)死亡力：x生存函数或分布（死亡）函数：FX(x)与SX(x)、xq0与xp0FT(x)(t)与ST(x)(t)、fT(x)(t)、tqx与tpxt

7、uqx密度函数：fX(x)与fT(x)(t)例已知给出生存函数请计算和解3.1.6的解析表达式DeMoivre模型(1729)Gompertze

8、模型(1825)Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。例已知某人寿命X的分布函数为：试求：（1）生存函数SX(x)；（2）密度函数fX(x)；（3）死亡力函数X(x)。例3.2生命表生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所

9、组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）3.2.2生命表的内容常用符号新生生命组个体数：年

10、龄：极限年龄：个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作生存函数表示生存率和死亡率个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.004631000004

11、63273738775873.881-7.0024699537245163573