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1、2.2.1对数与对数运算第一课时对数1.庄子:一尺之棰，日取其半，万世不竭，问4天还有多少尺？取多少次还有0.03125尺？设取x次还有0.03125尺问题提出()x＝0.03125，求x=?2.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么过几年人口数将达到18亿？13×(1＋1％)x＝18，求x=?即1.01x＝，求x=?设过x年人口数将达到18亿已知底数和幂的值，求指数.3.上面的实际问题归结为一个什么数学问题？1.01x＝，求x=?()x＝0.03125，求x=?对数知识探究（一）：对数的概念思考1:24＝2－2＝思考2:若2x＝16，则x＝若
2、2x＝,则x＝若4x＝8，则x＝若2x＝3，则x＝164-2若2x＝3，则x＝苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。满足2x＝3的x的值，我们用log23表示，即x＝log23，并叫做“以2为底3的对数”.思考3:若2x＝16，则x＝若2x＝,则x＝若4x＝8，则x＝若2x＝3，则x＝log23log216log2log48思考5:满足,，（其中e=2.71828…）的x的值可分别怎样表示？X=log10NX=logeNx=log1.01思考4:前面问题中，,中的x的值可分别怎样表示？（）x＝0.03125x=log0.03125恩格斯曾经把对数的发明、解
3、析几何的创始和微积分的建立并称为17世纪数学三大成就。但是首先用指数来定义对数的是瑞士数学家欧拉。思考1:指数与对数有什么关系？知识探究（二）：对数与指数的关系指数与对数是可以等价且相互转化ax＝Nx＝logaN当a>0，且a≠1时思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2），loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？设loga(-2)=x,则ax=-2而当a>0，且a≠1时,恒有ax>0设loga0=x,则ax=0aNx指数式ax＝N指数的底数幂幂指数对数式x＝logaN对数的底数真数对数思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？思考4:根
4、据对数定义，logal和logaa和logaan（a>0，a≠1）的值分别是多少？设loga1=x,则ax=1,所以x=0,得loga1=0设logaa=x,则ax=a,所以x=1,得logaa=1设logaan=x,则ax=an,所以x=n,得logaan=n理论迁移例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)54＝625;(2)2－6＝;(3)()m＝5.73;(4)＝－４;(5)lg0.01=－２;(6)ln10＝2.303.例2.求下列各式中ｘ的值：(1)log64x＝;(2)logx8＝6;(3)lg100=x;(4)－lne2＝ｘ.例3计算（1）log81(2)lo
5、g0.30.09例4:（1）已知a>0，且a≠1时,N>0,证明alogaN=N练习：(1)计算2log25=_____(2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求实数x的值。(3)已知loga3=m,logan=5,则a2m+n=_____第二课时对数的运算2.2.1对数与对数运算问题提出1.对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？2.指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？对数的运算知识探究（一）：积与商的对数思考2:将log232＝log24十log28推广到一般情形有什么结论？思考1:求下列三个对数的值：log232，log2
6、4，log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能证明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立吗？思考4:将log232－log24=log28推广到一般情形有什么结论？怎样证明？思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，…，Mn均大于0，则loga(M1M2M3…Mn）＝？知识探究（二）:幂的对数思考1:log23与log281有什么关系？思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．思考4:log2x2=2log2x对
7、任意实数x恒成立吗？思考6:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则等于什么？①两数积的对数，等于各数的对数的和；②两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．理论迁移例1用logax，logay，logaz表示下列各式：;(2).例2求下列各式的值：(1)log2（47×25）；(2)lg；(3)log318-log32；(4).例3计算：小结
