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1、§1.5条件概率及全概率公式在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A
2、B).一般P(A
3、B)≠P(A)P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A
4、B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A
5、B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到P(A
6、B)P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品
7、，4件二等品.现从这10件中任取一件，记B={取到正品}A={取到一等品}，P(A
8、B)P(A)=3/10，B={取到正品}P(A
9、B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A
10、B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“信息”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)>0,
11、则称(1)2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.3.条件概率的性质(自行验证)设B是一事件，且P(B)>0,则1.对任一事件A，0≤P(A
12、B)≤1;2.P(Ω
13、B)=1；3.设A1,…,An互不相容，则P[(A1+…+An)
14、B]=P(A1
15、B)+…+P(An
16、B)而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.2)从加入条件后可用缩减样本空间法4.条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0掷骰子例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}P(A
17、B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例1掷两颗均匀
18、骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算例2设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？解设A表示“能活到20岁以上”，B表示“能活到25岁以上”。则由已知从而所求的概率为条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系若一般地条件概率无条件概率二、乘法公式由条件概率的定义：定理1.1若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A
19、
20、B)(2)若已知P(B),P(A
21、B)时,可以反求P(AB).若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B
22、A)(3)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率多个事件的乘法公式则有这就是n个事件的乘法公式．例1在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。解：设A表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取到次品”，则例2袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率．解：则由乘法公式，我们有
23、返回主目录乘法公式应用举例乘法公式应用举例一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.解:设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4b个白球,r个红球用乘法公式容易求出当c>0
24、时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2
25、W1)P(R3
26、W1W2)P(R4
27、W1W2R3)P(W1W2R3R4)全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B
28、A)P(A)>0三、全概率公式和贝叶斯公式例1有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取
29、一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概
