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1、第3章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1初等变换与初等矩阵3.1.1矩阵的初等变换与初等矩阵定义1矩阵的初等行变换指的是以下三种变换:（1）互换矩阵中任意两行元素的位置（记作）；（2）用非零数乘以矩阵的某一行（记作）；（3）把矩阵中第行的倍加到第行上去（记作）.以上三种变换对列也同样成立,称为初等列变换，标记时只须把换成，即三种初等列变换分别写成，.，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.例1设利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形.解在行阶梯形的基础上,如果再对矩阵进行初等行变换,则可将矩阵化为行最简形,即矩阵的非零元素行的第
2、一个非零元素为1,并且其所在的列其他元素为零.如上例中利用矩阵的初等变换行将矩阵化为行阶梯形和行最简形是解决矩阵问题的主要方法之一.同学们应该熟练掌握.对于矩阵的行最简形，如果再对其进行初等列变换，则可以得到一种更为为简洁的形式——标准形.例如矩阵即为标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素为零.对于矩阵，总可以经过初等变换（初等行变换和初等列变换）把它化为标准形其中为阶单位阵，即为矩阵的行阶梯形中非零元素行的行数.3.1.2初等矩阵定义2对单位矩阵施行一次初等行（列）变换得到的矩阵称为初等矩阵.由初等矩阵的定义知,对应于
3、三种初等变换,初等矩阵具有以下三种形式:（1）互换的第两行（或第两列）,得（2）用非零数乘以矩阵的第行（或第列）,得（3）把矩阵的第行的倍加到第行上,得定理1对矩阵施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以一个相应的阶初等阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以一个相应的阶初等阵定理2设矩阵为阶可逆矩阵,则可经过有限次初等变换化为单位矩阵.定理3设为可逆阵，则存在有限个初等阵，使.推论矩阵的充分必要条件是：存在阶可逆阵及阶可逆阵，使3.1.3用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵例2利用初等行变换求矩阵的逆矩阵,其中解因此例3利用初等行变换
4、求矩阵的逆矩阵,其中解因此例4解下面的矩阵方程,其中解分析:因为,所以可逆,下面首先利用初等变换法求出的逆阵,再对方程两边分别左乘,可得所以因此3.2矩阵的秩3.2.1矩阵秩的概念定义3设矩阵为型矩阵,在中选定行列,则位于这行列交叉位置上的个元素按照原来的排列方式构成一个阶方阵,称为矩阵的阶子矩阵,的阶子方阵的行列式称为的阶子式.定义4设矩阵中存在阶非零子式,并且所有的(如果存在的话)阶子式全为零,则称矩阵的秩为,记作,并称该阶子式为矩阵的最高阶非零子式.3.2.2用初等变换求矩阵的秩定理4若矩阵与矩阵等价,则例7求矩阵的秩.解对
5、施行初等行变换到行阶梯形,即由于,因此例8求矩阵的秩,并求的一个最高阶非零子式.解先求的秩,为此对作初等行变换,将化成行阶梯形矩阵.上式最后一个矩阵是行阶梯形矩阵,其非零元素行的行数为因此.所以下面再求的一个最高阶非零子式.为此先求的一个最高阶非零子式.显然在中,第行与第列的元素构成的三阶子式为为的一个最高阶非零子式,同时注意到在求的秩时我们只对作了初等行变换,中第行分别与中行对应,而的第列即为的第列,因此得出的最高阶(三阶)非零子式为3.3线性方程组的解3.3.1齐次线性方程组的解对于齐次线性方程组必有零解,但我们关心其在什么条
6、件下具有非零解,为此我们给出定理5齐次线性方程组(1)有非零解的充分必要条件是,其中为其系数矩阵.（1）例9求解方程组解对方程组的系数矩阵进行初等行变换因为,所以方程组有非零解.与矩阵对应的方程组为并且与原方程组等价.当未知量取定某一组值时,的值也随之确定,即得到方程组的一组解,因此对于未知量的任意一组取值,均能得到方程组的解,我们称满足这样条件的未知量为自由未知量.设自由未知量,得(其中为任意常数).例10解方程组解对方程组的系数矩阵进行初等行变换得所以因此该方程组只有零解.例11解方程组.解对方程组的系数矩阵进行初等行变换与对
7、应的方程组的同解方程组为令,则得(其中为任意常数)也即(其中为任意常数)3.3.2非齐次线性方程组的解对于非齐次线性方程组(2)的情况,我们有如下定理定理6非齐次线性方程组(2)有解的充分必要条件是其中称为方程组的增广矩阵.对一般的元线性方程组当时方程组无解,当时方程组有解,并且(1)当时,方程组有唯一解;(2)当时,方程组有无数解.例12解方程组解对方程组的增广矩阵进行初等行变换因此有令得(其中为任意常数)例13求解线性方程组解对方程组的增广矩阵进行初等变换,化其为行阶梯形,因为,所以原方程组无解.例14讨论方程组当取何值时方程
8、组有惟一解;无解;有无限多个解.解当且时有,此时方程组有惟一解;当时,此时方程组无解;当时,,此时方程组有无数解.
