高考数学压轴大题突破练（一）直线与圆锥曲线（1）文.doc

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1、(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·烟台模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点在椭圆上，过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A(－2,0)作两条相交直线l1，l2，l1与椭圆交于P，Q两点(点P在点Q的上方)，l2与椭圆交于M，N两点(点M在点N的上方)，若直线l1的斜率为－，S△MAP＝S△NAQ，求直线l2的斜率．解(1)由已知得解得a＝6，b＝1.故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由题设可知：直线l1的方程为x＝－7y－2.联立整理得85y2＋28y－32＝0.yP＝，yQ＝－.∴＝＝＝.设∠M

2、AP＝∠QAN＝θ，∵S△MAP＝S△NAQ，∴AMAPsinθ＝×ANAQsinθ，即＝×＝×＝.设直线l2的方程为x＝my－2(m≠0)，将x＝my－2代入＋y2＝1，得(m2＋36)y2－4my－32＝0.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，6则y1＋y2＝，y1y2＝－.又∵y1＝－y2，∴－y2＋y2＝，－y＝－，∴y2＝－，y＝，∴2＝，解得m2＝4，∴m＝±2，此时①式的判别式大于零．故直线l2的斜率为±.2．(2018·南昌模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1，F2，点E在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)

3、设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N，使得＝2，求以F1P为直径的圆面积的取值范围．解(1)由已知，得半焦距c＝，2a＝EF1＋EF2＝＋＝4，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝8－2＝6，所以椭圆C的方程是＋＝1.(2)设点P的坐标为(0，t)，当直线MN斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±.当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝2得x1＝－2x2，①联立6得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，由题意，得Δ＝64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)

4、>0，整理得t2<8k2＋6，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1·x2＝，②由①②，消去x1，x2得k2＝，由解得，∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明由(

5、1)知，y0＝，联立得4x2－16x－9＝0，解得x1＝－，x2＝，∴EF＝＝5.6设P，则M的横坐标为m，易知A在l上，则AM＝.由题意可知直线PN的方程为y－＝－(x－m)，与y＝2x＋联立可得xN＝，所以AN＝＝，则＝5，故＝EF.4．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2＝－.(1)求椭圆C的离心率；(2)设直线l与x轴交于点D(－，0)，交椭圆于P，Q两点，且满足＝3，当△OPQ的面积最大时，求椭圆

6、C的方程．解(1)M(0，b)，A(－a,0)，B(a,0)，k1＝，k2＝－，k1k2＝－·＝－＝－，e＝＝.(2)由(1)知e＝＝，得a2＝3c2，b2＝2c2，可设椭圆C的方程为2x2＋3y2＝6c2，设直线l的方程为x＝my－，由得(2m2＋3)y2－4my＋6－6c2＝0，因为直线l与椭圆C相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，所以Δ＝48m2－4(2m2＋3)(6－6c2)>0，6由根与系数的关系得，y1＋y2＝，y1y2＝.又＝3，所以y1＝－3y2，代入上述两式得6－6c2＝－，所以S△OPQ＝ODy1－y2＝＝＝≤，当且仅当

7、m2＝时，等号成立，此时c2＝，代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C的方程为＋＝1.5．(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线y＝k(x－1)(k>0)与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点．(ⅰ)若＝，求k的值；(ⅱ)若点Q的坐标为，求证：·为定值．(1)解因为＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，又离心率为，所以＝，即a2＝2c2，代入a2＝b2＋c2，得b2＝c2.又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2

8、，即×b×2c＝2，即bc＝2，b2c2＝4，以上各式联立解得a2＝4，b2＝2，则椭圆C的方程为＋＝1.(