离散数学 教学课件 作者 李盘林 第06章.ppt

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1、第六章代数结构概念及性质6.1代数结构的定义与例6.2代数结构的基本性质6.3同态与同构6.4同余关系6.5商代数6.6积代数退出6.1代数结构的定义与例在正式给出代数结构的定义之前，先来说明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个概念是代数结构中不可缺少的基本概念。定义6.1.1设S是个非空集合且函数或f:Sn→S，则称f为一个n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算，等等。注意，n元运算是个闭运算，因为经运算后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了n元运算与一般函数的区别之处。此外，有些运算存在

2、幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，称它为S中的特异元或常数。运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性。在下面讲座的代数结构中，主要限于一元和二元运算，将用’、或ˉ等符号表示一元运算符；用、、⊙、○、、、∩、∪等表示二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，如x、、x’；而二元运算符习惯于前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。有了集合上运算的概念后，便

3、可定义代数结构了。定义6.1.2设S是个非空集合且fi是S上的ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记作。此外，集合S的基数即

4、S

5、定义代数结构的基数。如果S是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个是否同类型之说，请看下面定义：定义6.1.3设两个代数结构和，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。可见，判定两个代数结构是否同

6、类型，主要是对其运算进行考察。此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的概念。定义6.1.4设是一代数结构且非空集TS在运算f1，f2，…，fm作用下是封闭的，且T含有与S中相同的特异元，则称为代数结构的子代数。记为。在结束本节时，声明记号即为一代数结构，除特别指明外，运算符f1,f2,···,fm均为二元运算。根据需要对S及f1,f2,···,fm可置不同的集合符和运算符

7、。6.2代数结构的基本性质所谓代数结构的性质即是结构中任何运算所具有的性质。1.结合律给定，则运算“⊙”满足结合律或“⊙”是可结合的，即(x)(y)(z)(x，y，z∈S→(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z))。2.交换律给定，则运算“⊙”满足交换律或“⊙”是可交换的，即(x)(y)(x，y∈S→x⊙y=y⊙x)。可见，如果一代数结构中的运算⊙是可结合和可交换的，那么，在计算a1⊙a2⊙···⊙a0=am。称am为a的m次幂，m称a的指数。下面给出am的归纳定义：设有且aS，对于mI+，其中I+表示正整数集合，可有：(

8、1)a1=a(2)am+1=am⊙a由此利用归纳法不难证明指数定律：(1)am⊙an=am+n(2)(am)n=amn这里，m,nI+。类似地定义某代数结构中的负幂和给出负指数定律。3.分配律一个代数结构若具有两个运算时，则分配律可建立这两个运算之间的某种联系。给定，则运算⊙对于○满足左分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即(x)(y)(z)(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(y⊙x)○(x⊙z))。运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可右分配的，即(x)(y)(z)(x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x))类似

9、地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律，则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可定义○对于⊙满足分配律。由定义不难证明下面定理：定理6.2.1给定且⊙是可交换的。如果⊙对于○满足左或右分配律，则⊙对于○满足分配律。例6.2.3给定，其中B={0,1}。表6.2.1分别定义了运算⊙和○，问运算⊙对于○是可分配的吗？○对于⊙呢？形如表6.2.1的表常常被称为运算表或复合表，它由运算符、行表头元素、列表头元素及复合元素四部分组成。当集合S的基数很小，特别限于几个时，代数结构中运算常常用这种表给出。

10、其优点简明直观，一目了然。解可以验证⊙对于○是可分配的，但○对于⊙