研究生数值分析(21,22)数值积分.ppt

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1、数值分析第6章数值积分主讲老师:雷鸣在高等数学中，计算定积分根据微积分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a，b]上连续，只要找到f(x)的一个原函数F(x)便可利用牛顿—莱布尼兹公式第6章数值积分§1求积公式及其代数精度求得积分值。但是在工程技术和科学研究当中，往往遇到如下困难，而不能使用牛顿—莱布尼兹公式。为1、找不到用初等函数表示的原函数例如：等等原函数的计算复杂性大大超过被积函数。2、虽然找到了原函数，但因表达式过于复杂而不便于计算例如：3、f(x)是由测量和计算得到的函数列表，即给出的是f(x)的一张数据表。

2、可惜的是ξ值不易找到，因而难以求出f(ξ)的准确值。由于这些困难，我们必须研究积分的数值计算问题。回顾积分中值定理但若能对f(ξ)提供一种近似算法，也可以得到一种数值积分公式。若取，则得到如取，则得到如取，则得到以上三个公式分别称为左矩形公式，中矩形公式和右矩形公式。由定积分的定义可以得到定积分的一个近似计算公式为求积结点，它们均与f(x)的具体形式无关。进一步，我们设想更一般的求积公式为①称为求积系数，这类数值积分的方法通常称为机械求积法，主要有插值型和外推型两种。它们均是应用被积函数f(x)在一些节点上的函数值得线性

3、组合得出积分的近似值。于是求积分值的问题就转化为计算被积函数在节点处的函数值的问题。对于求积公式①，关键在于确定求积系数。设给定一组节点且已知函数f(x)在这些节点上的值为，则可作f(x)的n次插值多项式（1）构造数值积分公式的基本方法其中为节点的基本插值多项式。用近似代替被积函数f(x)，则得若记我们称由系数式确定的数值积分公式①立即可得数值积分公式①。为插值型求积公式。记插值型求积公式的截断误差为R[f]，则有（2）插值型求积公式的截断误差与代数精度②由余项公式②可以看出，如果f(x)是一个n次多项式，则即为了使求积

4、公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义，就应要求它尽可能多的被积函数f(x)都能准确地成立。为此我们引入代数精度的概念。求积公式是准确成立的。其中定义如果一个数值积分公式对于次数≤m的代数多项式均能准确地成立，但至少对一个m+1次多项式不能准确地成立，则称该数值积分公式具有m次代数精度。关于代数精度有如下结论：定理1含有n+1个节点的插值型数值积分公式其中至少具有n次代数精度。证当f(x)为任何次数不高于n的多项式时，根据插值型求积公式的截断误差不断式此时，Rn=0，因而等式成立，其中根据代数精度的定义，可知定理的结论

5、成立。证毕定理2数值积分公式具有m次代数精度的充分必要条件为该公式对精确成立，而对不精确成立。证记必要性设对任一m次多项式精确成立，但对某一m+1次多项式不准确成立，其中是一个m次多项式。由于是特殊的次数小于等于m的多项式，所以求积公式是准确成立的。另外由于及得充分性设。任一m次多项式，可表示为于是即求积公式对任一m次多项式是准确成立的，再注意到求积公式对是不精确成立的，充分性证毕。例如:梯形公式由于当时，左端右端左端=右端当时，左端右端左端=右端=左端≠右端左端=右端但是，当时，这表明梯形公式时是准确成立的，即梯形公式

6、的代数精度m=1。当当f(x)的次数高于1时，梯形公式却不准确地成立。一个数值积分公式的代数精度越高，就越能对更多的被积函数准确地或较准确地成立，从而具有更好的实际计算意义。利用待定系数法，可以得到具有尽可能高的代数精度的数值积分公式。例1确定求积公式解：为使求积公式当时都变为等式，应满足中的系数，使其具有尽可能高的代数精度。求积系数解得故该求积公式对进一步分析，我们还知道该求积公式对但当时，左边≠右边，故所得求积公式的代数精度m=3。都准确成立，至少具有2次代数精度。也准确成立例2给定求积节点的插值型求积公式，，试推出

7、计算积分并写出它的截断误差。解：由公式计算求积系数故求积公式为由公式此求积公式的截断误差为其中