机器人的空间描述与坐标变换.ppt

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1、1第二章机器人的空间描述和坐标变换2.1位姿和坐标系描述2.2平移和旋转坐标系映射2.3平移和旋转齐次坐标变换2.4物体的变换和变换方程2.5通用旋转变换22.1位置方位表示与坐标系描述1.位置描述矢量Ap表示箭头指向点的位置矢量，其中右上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述的。（2-2）2.方位描述坐标系{B}与机械手末端工具固连，工具的姿态可以由坐标系{B}的方向来描述。而坐标系{B}的方向可以用沿三个坐标轴的单位矢量来表示图2-2方位表示（2-1）旋转矩阵描述坐标系{B}的姿态，矢量描述坐标系{B}的原点位置。3

2、3.位姿描述固连坐标系把刚体位姿描述问题转化为坐标系的描述问题。图2-3中坐标系{B}可以在固定坐标系{A}中描述为（2-3）41.平移坐标变换图2-3平移变换BP为坐标系{B}描述的某一空间位置，我们也可以用AP（坐标系{A}）描述同一空间位置。因为两个坐标系具有相同的姿态，同一个点在不同坐标系下的描述满足以下关系（2-4）2.2平移和旋转坐标系映射旋转坐标变换的任务是已知坐标系{B}描述的一个点的位置矢量BP和旋转矩阵，求在坐标系{A}下描述同一个点的位置矢量AP。52.旋转坐标变换（2-5）将（2-5）式写成矩阵形

3、式得：（2-6）图2-4旋转变换式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐标系之间的旋转变换实现的。63.复合变换图2-5复合变换如果两个坐标系之间即存在平移又存在旋转，如何计算同一个空间点在两个坐标系下描述的变换关系？为了得到位置矢量BP和AP之间的变换关系，我们建立一个中间坐标系{C}。（2-7）（2-8）为了得到位置矢量BP和AP之间的变换关系，只需坐标系{B}在坐标系下{A}的描述。是44矩阵，称为齐次坐标变换矩阵。可以理解为坐标系{B}在固定坐标系{A}中的描述。72.3齐次坐标变换坐标变换（

4、2-8）可以写成以下形式（2-9）将位置矢量用41矢量表示，增加1维的数值恒为1，我们仍然用原来的符号表示4维位置矢量并采用以下符号表示坐标变换矩阵（2-10）（2-11）齐次坐标变换的主要作用是表达简洁，同时在表示多个坐标变换的时候比较方便。1.齐次变换82.齐次变换算子在机器人学中还经常用到下面的变换，如图2-8，矢量AP1沿矢量AQ平移至的AQ终点，得一矢量AP2。已知AP1和AQ求AP2的过程称之为平移变换，与前面不同，这里只涉及单一坐标系。图2-6平移算子（2-12）可以采用齐次变换矩阵表示平移变换（2-13

5、）称为平移算子，其表达式为（2-14）其中I是33单位矩阵。例如若AQ=ai+bj+ck，其中i、j和k分别表示坐标系{A}三个坐标轴的单位矢量，则平移算子表示为9同样，我们可以研究矢量在同一坐标系下的旋转变换，如图2-9，AP1绕Z轴转角得到AP2。则图2-7旋转算子（2-20）Rot(z,)称为旋转算子，其表达式为（2-21）同理，可以得到绕X轴和Y轴的旋转算子10定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描述均在同一坐标系下，所以不需

6、上下标描述（坐标系）。（2-23）齐次坐标变换总结：表示坐标系{B}在坐标系{A}下的描述，的各列是坐标系{B}三个坐标轴方向的单位矢量，而表示坐标系{B}原点位置。2.它是不同坐标系间的坐标变换。如3.它是同一坐标系内的变换算子。齐次坐标变换是复杂空间变换的基础，必须认真理解和掌握。具体应用的关键是理解它代表的是上面三种含义的哪一种，而不是简单的套用公式！1.它是坐标系的描述。如图2-10表示的三个坐标系，已知坐标系{A}、{B}和{C}之间的变换矩阵和位置矢量CP，求在坐标系{A}下表示同一个点的位置矢量AP。113

7、.复合变换复合变换主要有两种应用形式，一种是建立了多个坐标系描述机器人的位姿，任务是确定不同坐标系下对同一个量描述之间的关系；另一种是一个空间点在同一个坐标系内顺序经过多次平移或旋转变换，任务是确定多次变换后点的位置。图2-10复合坐标变换（2-24）（2-25）根据坐标变换的定义得（2-26）12(a)ZY顺序旋转(b)YZ顺序旋转图2-11旋转顺序对变换结果影响例2-3已知点u=7i+3j+2k，先对它进行绕Z轴旋转90o的变换得点v，再对点v进行绕Y轴旋转90o的变换得点w，求v和w。如果只关心最后的变换结果，

8、可以按下式计算计算结果与前面的相同，称R=Rot(y,90o)Rot(z,90o)为复合旋转算子。13注：固定坐标系变换，矩阵乘的顺序“自右向左”如果改变旋转顺序，先对它进行绕y轴旋转90o，再绕z轴旋转90o，结果如图2-11b所示。比较图2-11a和图2-11b可以发现最后的结果并不相同，即旋转顺序影响变换结果。