极值点偏移问题6.doc

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1、极值点偏移问题（6）——泰勒展开（本质回归）杨春波（高新区枫杨街郑州外国语学校，河南郑州450001)这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景．以极小值点的偏移为例进行说明，如下左图为极小值点左偏，右图为极小值点右偏．极值点发生偏移，直观表现为函数图象在极值点左右两侧（包含极值点的一个邻域）的增减速度不同．如上左图，导函数（曲线上一动点处切线的斜率）一直在增加，但增加得越来越慢；如上右图，导函数也一直在增加，但增加得越来越快．一阶导数增加的速度（快慢）用什么来表示（刻画、衡量）？用二阶导数的大小来表示（类似于加速运动中速度增加的快慢由加速

2、度的大小来决定样）．左图中，增加即单调递增，得；增加得越来越慢，则的绝对值越来越小，又，故单调递减．右图中，增加即单调递增，得；增加得越来越快，则的绝对值越来越大，又，故单调递增．二阶导数的单调性用什么来表示？当然是三阶导数的正负！左图中，；右图中，．于是，极小值点的偏移方向（左偏还是右偏）可用三阶导函数的正负（符号）来判定——若，则极小值点左偏；若，则极小值点右偏．同样的分析，可以知道极大值点的偏移方向也可用三阶导数的正负来判定，结论是：若，则极大值点右偏；若，则极大值点左偏．过程交给读者，提醒：分析时应注意．以上只是直观（或者说非常粗略）的分析，下面拟用高等数学中的

3、泰勒展开式进行严格证明，算作极值点偏移问题的另一种本质回归．为了讨论问题的方便，不妨假设区间上的可导函数满足，且在区间内只有一个极小值点，即当时，有；当时，有．于是，判断极值点左偏还是右偏，即比较与的大小关系，这可通过的正负得到．记，将和分别在处泰勒展开得，，其中，．注意到，且，以上两式相减得，即．所以，若当时，恒有，则，，，得，即极小值点左偏；若当时，恒有，同理可得，有，即极小值点右偏．极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述．至此，我们得到极值点偏移问题的如下判定定理：极小值点左偏（极大值点右偏）；极小值点右偏（极大值点左偏）．注1：从推导过程不难发

4、现，这只是一个充分性判定定理（而非必要），使用时应注意；注2：此定理直接用来判定极值点的偏移方向，即得到与的大小关系，对于，的其它不等式的证明或将无能为力．下面就用这个判定定理再解前面举过的例题．再解例1：，；若，则；若，则，极大值点左偏，有．再解例2：，；若，由知，可设，则；若，则，极小值点右偏，有．再解例4：（2），，则极小值点右偏，有；（3），，则极小值点左偏，有．再解例6：，，则极小值点左偏，有．再解例8：，，则极大值点左偏，有，则．再解例10：，，则极大值点左偏，有．更多例子恕不一一再解．