证明三角形全等的常见思路.doc

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1、证明三角形全等的常见思路　　全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习．而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等．在学习时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见思路，进行分析．　　一、已知一边与其一邻角对应相等　　1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等．　　例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：AF=DE．　　证明∵

2、BE=CF(已知)，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．　　在△ABF和△DCE中，　　　　∴△ABF≌△DCE(SAS)．　　∴AF=DE(全等三角形对应边相等)．　　2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等．　　例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB．求证：AE=CE．　　证明∵FC∥AB(已知)，∴∠ADE=∠CFE(两直线平行，内错角相等)．　　在△ADE和△CFE中，　　　　∴△ADE≌△CFE(ASA).　　∴AE=CE(全等三

3、角形对应边相等)　　3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等．　　例3(同例2).　　证明∵FC∥AB(已知)，　　∴∠A=∠ECF(两直线平行，内错角相等).　　在△ADE和△CFE中，　　　　∴△ADE≌△CFE(AAS).　　∴AE=CE(全等三角形对应边相等)．　　二、已知两边对应相等　　1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证全等．　　例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2．求证：△ABD≌△ACE.　　证明∵∠1=∠2(已知)，　　∠ADB=180°

4、-∠1，　　∠AEC=180°-∠2(邻补角定义)，　　∴∠ADB=∠AEC，　　在△ABD和△ACE中，　　　　∴△ABD≌△ACE(SAS).　　2．证第三边对应相等，再用SSS证全等．　　例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN，BM∥DN．　　证明∵AC=BD(已知)∴AC+BC=BD+BC，　　即AB=CD.　　在△ABM和△CDN中，　　　　∴△ABM≌△CDN(SSS)　　∴∠A=∠NCD，∠ABM=∠D(全等三角应角相等)，

5、　　∴AM∥CN，BM∥DN(同位角相等，两直行)．　　三、已知两角对应相等　　1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等．　　例6已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证：AB=DE，AC=DF.　　证明∵FB=CE(已知)　　∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF，　　　　∴△ABC≌△DEF(ASA).　　∴AB=DE，AC=DF(全等三角形对应边相等)　　2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等．　　例7已知：如图6，AB、CD

6、交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF.求证：△ACE≌△BDF.　　证明∵OA=OB，OE=OF已知)，∴OA-OE=OB-OF，即AE=BF，　　在△ACE和△BDF中，　　　　∴△ACE≌△BDF(AAS).　　四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等　　例8已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．　　求证：△ABD≌△ACE.　　证明∵AD=AE(已知)　　∴∠1=∠2(等边对

7、等角)，　　∵∠ADB=∠180°-∠1，　　∠AEC=180°-∠2(邻补角定义)，　　∴∠ADB=∠AEC，　　在△ABD和△ACE中，　　　　∴△ABD≌△ACE(AAS).