高考数学专题二数列第2讲数列的求和问题学案文.doc

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1、第2讲　数列的求和问题[考情考向分析]　高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想．热点一　分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1　(2018·北京海淀区模拟)已知等差数列{an}满足2an＋1－an＝2n＋3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n

2、项和．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为2an＋1－an＝2n＋3，所以所以所以所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．(2)因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＋bn＝2n－1，因为an＝2n－1，所以bn＝2n－1－(2n－1)．设数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]18＝－＝2n－1－n2，所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*)．思维升华　在处理一般数列求和时，一定要注意使

3、用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练1　已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2－dx－3<0的解集为(－1,3)，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)由题意，得解得故数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1

4、)，即an＝2n－1(n∈N*)．(2)据(1)求解知an＝2n－1，所以bn＝＋2an＝22n－1＋2(2n－1)＝＋4n－2，所以Sn＝(4＋42＋43＋…＋4n)＋(2＋6＋10＋…＋4n－2)＝×＋＝＋2n2－(n∈N*)．热点二　错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．例2　(2018·百校联盟联考)已知等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为Sn(n∈N*)，a1＋a3＝

5、，a1－1，a2－1，a3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝anlgan，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)由a1＋a3＝得，a1＋a1q2＝＝1＋q2，所以a1＝1，18由a1－1，a2－1，a3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，得a3－1－(a1－1)＝4[(a2－1)－(a1－1)]，即a3－a1＝4(a2－a1)，即q2－1＝4(q－1)，即q2－4q＋3＝0，因为q≠1，所以q＝3，所以an＝3n－1(n∈N*)．(

6、2)bn＝anlgan＝(n－1)·3n－1lg3，所以Tn＝[0＋3＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)×3n－1]lg3，3Tn＝[0＋32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)×3n]lg3，两式相减得，－2Tn＝[3＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n]lg3＝－(n－1)·3nlg3＝－－·3nlg3，所以Tn＝＋·3nlg3(n∈N*)．思维升华　(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．

7、要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证．跟踪演练2　(2018·安庆模拟)在等差数列{an}中a4＝9，前三项的和为15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解　由题意得解得∴an＝2n＋1(n∈N*)．(2)Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋…＋，②①－②得，Sn＝1＋2－，∴Sn＝2－(n∈N*)．热点三　裂项相消法求和18裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的

8、方法，主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．例3　(2018·天津市十二校模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(n∈N*)(a为常数，a≠0，a≠1)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋Sn，若数列{bn}为等比数列，求a的值；(3)在满足条件(2)的情形下，cn＝.若数列的前n项和为Tn，且对任意n∈N*满足Tn<λ2＋λ，求实数λ的取值范围．解　(1)∵Sn＝a，∴n＝1时，a