三个点的加权点组的费马问题 加权费马点.pdf

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1、42中学数学2002年第8期初等数学三个点的加权点组的费马问题研究350015福州市二十四中杨学枝平面上三个点的加权点组的费马问题a′PA+b′PB+c′PC≥b′c+c′b(3)是:当且仅当P与A点重合时,(3)式取等号.A、B、C是平面上三个定点,设a′、b′、c′是证明首先我们证明,要使a′PA+非负实数,在平面上试求点P,使b′PB+c′PC取得最小值,则P点必在△ABCF=a′PA+b′PB+c′PC内部或边界上.为最小.设Q为△ABC外部一点,我们只需证明当a′=b′=c′=1时即为法国数学家费在△ABC内部或边界上可找到一点P

2、,使得马(Fermat,1601～1665)于1640年前后向意PA

3、延长线上取点P,使构给以说明,未见到纯几何解答.在本文中,得PH

4、中,有一个不小于另外两个QA,由此可知,P点必在△ABC内部,同时易之和,不妨设a′≥b′+c′,则知有PB

5、′)PA+b′PB+c′PCi)当A+A′,B+B′,C+C′均小于180°=b′(PA+PB)+c′(PA+PC)时,有≥b′AB+c′ACa′PA+b′PB+c′PC≥=b′c+c′b,1由上证明中易知,当且仅当P与A点重合时,2(-222∑a′a+b+c)+8△′△(2)(1)式取等号.2(这里∑为循环和记号,下同).若记射线PB对于2中i),记PA=x,PB=y,PC=到PC,PC到PA,PA到PB的有向角分别为z,则有A,B,C,那么,当且仅当P点位于△ABC内部(∑a′PA)2-1∑a′2(-a2+b2+c2)2或边界上,且满足

6、A+A′=B+B′=C+C′-8△′△=180°时,(2)式取等号.22122ii)当A+A′,B+B′,C+C′中有一个=∑a′x+2∑b′c′yz-2∑a(-a′+22)-8不小于180°时,不妨设A+A′≥180°,则b′+c′△′△2002年第8期中学数学4322122b=∑a′x+2∑b′c′yz-2∑(y+z-≥bõ(c+b′õc′),222)-2yzcosA)(-a′+b′+c′由此便得到(3)式.由上述证明可知,当且仅2∑b′c′yzsinAsinA′当P与A点重合时,(3)式取等号.下面举几例说明定理的应用.221(22=

7、∑a′x+2∑b′c′yz-2∑y+z)õ例1设△ABC,BC=a,CA=b,AB=(-a′2+b′2+c′2)+2∑b′c′yzcosAcosA′c,P为平面上任意一点,则-222(4)∑b′c′yzsinAsinA′aPB+bPC+cPA≥∑bc=2∑b′c′yz(1+cosAcosA′-sinAsinA′)当且仅当P点在△ABC内部,且∠PBC=2A+A′∠PCA=∠PAB(此时P为△ABC内部一个=4∑b′c′yzcos≥0.2布罗卡点)时,(4)式取等号.即得(2)式,由上述证明可知,当且仅当A+提示:在(2)中,取a′=c,b′

8、=a,c′=b.A′=B+B′=r+C′=180°时,(2)式取等另由C+A、A+B、B+C均小于180°可知号.其取等号条件.这里须指出,由A+A′,B+B′,C+C′注意,同