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1、数值分析试题及答案数值分析考试试题纸（A卷）课程名称专业年纪一、计算题（木题满分100分，共5小题，每小题20分）1.已知函数表（1）求f（x）的三次Lagrange型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）.（2）求f（x）的Newton插值多项式（要求化成最简形式）.2122.已知心013,求A1,A8,A的LU分解.6123.叙述m阶代数精度的定义，写出求afxdx的Simpson公式，并验证Simpson公式的代数精度为3阶.124.设矩阵A二，求当a为何值时,解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛.a15.叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.b参
2、考答案一、计算题1、解：（1）L3x二10xyO+11xyO+12xy2+13xy3x—0x—2x—2—1~0—1—1—1—2x+1x—0x—21+11—01—2X0+x+1x—1x—20+10—10—2R3xX2+x+1x-0x-12+12-02—1X15x3+2x2—1f4e4!=fx—L3x=34x(2)均差表如下：Nx=fxO+fxO,xlx—xO+fxO,xl,x2x—xOx—xl+fxO,xl,x2,x3x—xOx—xlx—x2二0+—1x+1+2Xx+1x—0+1Xx+1x—0x—1=x3+x2—12、解：A1二ni3xlWjW33i=Iaij=2+0+6二8A8二nu
3、ixlWiW33j=laij=6+1+2=9A二LU二1211ull11321ul2u22ul3212u23=013u33612由ull=2ul2=lul3=2121=0u22=lu23=3131=3132=-2u33=21所以A二LU二013-212112323.解：定义：如果某个求积公丈对于次数不超过m的多项戎均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。afxdx的Simpson公式：S验证代数精度：当fx二1时，左边积分二aldx=b-a,右边S二当fx二x时，左边积分axdx=2b2—a2右边S二当fx=x2时,左边积分ax2clx=b
4、3-a3右边S=3当fx=x3时,b左边积分ax3dxbb—a6bb—a6bb—a6fa+4fa+b2+fb1+4+1=b—a=左边a+4Xa+b2+b=2b2-a2二左边1a2+4Xa+b22+b2=3b3-a3二左边1=b4—a4右边S=43a+b32+b3=4b4—a4二左边1当fx=x4时,左边积分ax4dx=4b5—a5右边S二b1b—a6a4+4Xa+b42+b4H左边故Simpson公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立，而对四次多项式不成立，所以Simpson公武具有三次代数精度。x1+2x2二bl4.解；Ax=b。2xl+x2二b2-其Gauss-Seidel迭代
5、格式为k+1xlk+1=bl—2x2=b2—k2x1k二0,1,2…0-2・・・迭代矩阵B=-20该迭代发收敛的充要条件是矩阵B的谱半径PB<1X2XI-B=二入2—2入二0,特征根X1,2=±2入・•・PB二>1。>21/.当ci〉时，解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛。5.答：在函数的最佳平方逼近屮fxeca,b,如果fx只在一•组离散点集xi,i二0,1,…』上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据xi,yi，迄0,1,…,m的曲线拟合，这里yi二fxi,i=0,1,…,m,要求一个函数y二S*x与所给数据xi,yi,i=0,1,•••,m拟合，若记GO
6、x,4)1x,…，x是Ca,b上线性无关函数族，在4>=span4)0x,4)1x，…，4>nx中找一函数S*x,使课差平方和m2mm*22622=i=08i=i=0Sxi-yi=minSxe4)i二0Sxi-yi这里Sx=a04)0x+al4)1x+-+an4)nx.这就是一•般的最小二乘逼近，用几何语言说，就成为曲线拟合的最小二乘法。举例说明：测得铜导线在温度(°C)时的电阻如表6-1,求电阻R与温度T的近故取呼1,拟合函数为列表如下解方程组得故得R与T的拟合百线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R二0得2-242.5,即预测温度T=-242.5°C时，
7、铜导线无电阻。
