初一数学竞赛系列讲座8.doc

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1、初一数学竞赛系列讲座(8)　解一次方程（组）与一次不等式（组） 一、知识要点1、一元一次方程方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax=b(a≠0)，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。2、方程ax=b(a、b为常数)的解的情形当a≠0时，方程ax=b有唯一解当a=0，b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程的解为任何有

2、理数。当a=0，b≠0时，方程ax=b无解。3、一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”4、不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c(a、b互质)有一组整数解为x0，y0，则此方程的全部整数解可表示为：5、一次不等式（组）只含一个未知数，而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是ax>b或ax

3、≠0)，任何一个一元一次不等式总可以通过去分母，去括号，移项，合并同类项化为一般形式，解不等式的根据是不等式的同解原理。6、不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质(1)(1)   反身性如果a>b，那么bb，b>c，那么a>c(3)(3)   平移性如果a>b，那么a+c>b+c(4)(4)   伸缩性如果a>b，c>0，那么ac>bc如果a>b，c<0，那么ac

4、等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。一、例题精讲例1解方程分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x+1)、(x-1)项，因而可将(x+1)、(x-1)看作整体，先进行移项合并，则能化繁为简。解：移项，得合并，得去括号，移项，可解得x=-5评注：本题是整体处理思想的应用。 例2解关于x的方程解：原方程整理得：(4m-

5、3)x=4mn-3m故当4m-3≠0时，即当4m-3=0时，即此时，若若综上所述，当；当；当评注：含参方程必须对参数进行讨论。 例3解方程组(1)(2)分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k法来解决。第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z，然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。解：(1)设，代入(2)得k=5∴x=10，y=15，z=20∴原方程组的解为(2)(1)+(2)+(3)得22(x+y+z)=44，所以x+y+

6、z=2所以3(x+y+z)=6(4)(1)-(4)得13x=4，则x=(2)-(4)得13y=8，则y=(3)-(4)得13z=14，则z=所以原方程组的解为评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。 例4已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？分析1：将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值

7、无关，所以只须a的系数x+y-2=0即可。解法1：将方程按a整理得：(x+y-2)a=x-2y-5，∵这个关于a的方程有无穷多个解，所以有由于x、y的值与a的取值无关，所以对于任何的a值，方程组有公共解分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组的解。解法2：令a=1，得：3y+3=0令a=-2，得：-3x+9=0解方程组得，则就是所求的公共解。将x=3，y=-1代入(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0得：3(a-1)-(a+2)+

8、5-2a=0整理得0•a=0，说明无论a取什么值，方程总是成立。评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与a无关，得出关于x、y的方程组，从而求出公共解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与a无关。这两种解法的思路正好相反。 例5求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得：∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=