极值点偏移问题的三种解法.pdf

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1、极值点偏移问题的三种解法x在高考和模考中，极值点偏移问题都是(2)令f'(x)=e－a=0，可得极值点x0一个热点问题．这类试题设问新颖多变，难度=lna，且f(x)在(－∞，lna)单调减，在(lna，较大，综合性强，能较好考查学生的逻辑推理+∞)单调增，从而x1＜lna＜x2．能力、数据处理能力、转化与化归思想、函数构造F(x)=f(lna+x)－f(lna－x)，x与方程思想等，往往作为压轴题出现．对于这x1＞0，则F'(x)=a(e+x)－2a≥0，F(x)在类问题，学生通常会望而却步，甚至不敢解、e不想解．笔者通过对极值点偏移问题的探究，(0，+∞)单调增，所以F(x)＞F

2、(0)=0，即总结出解决这类问题三种方法，希望可以帮f(lna+x)＞f(lna－x)(x＞0)．助学生克服畏难心理，迎难而上．令x=lna－x1＞0，则f(2lna－x1)＞f(x);又f(x)=f(x)，所以f(2lna－x)＞下面通过典型试题介绍这类问题的三种1121求解策略．f(x2)．而x2、2lna－x1都位于x0=lna的右一、构造法侧，且f(x)在(lna，+∞)单调增，故x2＜x1+x2构造法是解决极值点偏移问题最基本的2lna－x，即e2＜a，因此e槡x1x2＜a，即1方法．对函数y=f(x)，要考虑它在极值点x0f'(xx)＜0．得证．槡12附近偏移问题，可以通

3、过构造并判断函数二、利用对称性F(x)=f(x+x)－f(x－x)在x＞0时的符00例2(2010年天津高考题)已知函数号，确定x＞0时f(x0+x)与f(x0－x)的大小－xf(x)=xe(x∈Ｒ)．关系;再将x=x0－x1＞0代入上式，结合(1)求函数f(x)的单调区间和极值;f(x)=f(x)，得到f(2x－x)与f(x)的大12012(2)已知y=g(x)的图象与y=f(x)的小关系;最后结合函数f(x)的单调性解决问图象关于直线x=1对称，证明:当x＞1时，题．f(x)＞g(x);x例1设函数f(x)=e－ax+a(a∈(3)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明Ｒ

4、)，其图象与x轴交于A(x，0)、B(x，0)两12x+x＞2．12点，且x1＜x2．(1)求a的取值范围;(2)证明:f'(xx)＜0．槡12分析对问题(2)，要证f'(槡x1x2)＜x+xxx120，只要证e槡12＜a，因为xx＜，槡122x1+x2所以只要证e2＜a．解(1)f(x)在(－∞，1)内单调增，在2解(1)a＞e(过程略)．ttt解决极值点偏移的方法有很多，以上三e2(t－e2+e－2)=，et－1种方法各有优劣，不同题目使用三种方法的tt繁简程度不一样，我们应该根据题目的实际其中e－1＞0，e2＞0．tt情况，择优选择．令h(t)=t－e2+e－2，则h'(t)=

5、1－1tt(e2+e－2)≤0，h(t)在(0，+∞)单调减，2且h(0)=0，所以h(t)＜0在(0，+∞)内恒x+x12＜0．得证．成立，得f'()21x+x(1，+∞)内单调减;极大值f(1)=(过程12x＜x，则x=．e1202略)．1由f'(x)=－2ax+2－a，得(2)略．x(3)由(1)可知，f(x)在(－∞，1)单调x1+x2f'(x)=f'0()增，在(1，+∞)单调减，极值点为x0=1，极212=－a(x+x)+2－a．大值f(1)=．不妨设0＜x1＜1＜x2．记图x+x12e121中虚线部分的解析式为g(x)=f(2－x)，由由点A、B在函数y=f(x)的图象

6、上，所以22lnx－ax+(2－a)x=0，lnx－ax+(2－(2)可知在(1，+∞)内f(x)＞g(x)恒成立，11122故f(x2)＞g(x2)．a)x2=0，两式相减，得又f(x1)=f(x2)，则f(x1)＞g(x2)=f(2lnx2－lnx1－a(x+x)+(2－a)=0．21x－x－x2)，此时x1和2－x2都在x0=1的左侧，结21合f(x)在(－∞，1)单调增，得2－x2＜x1，即将结果代入f'(x0)表达式，得x+x＞2，即证．2lnx2－lnx112f'(x)=－．0x+xx－x评注作单极值点函数位于极值点左边1221(或右边)的图象关于极值点所在直线x=xx2

7、20令=t(t＞1)，则f'(x0)=－xx+tx111的对称图形，利用所得对称图形(如图1中虚lnt12(t－1)线部分)完全在原图象同侧的下方(或上方)．=[－lnt]，其中tx1－x1x1(t－1)t+1由此可以直观地发现原图象在x0左右两侧的12(t－1)增减速度不同，这正是函数极值点发生偏移＞0．令h(t)=－lnt(t＞x(t－1)t+11的原因．因此，对本题第(3)问，通过构作对称2(t－1)1)，则h'(t)=－＜0，h(x)在(1，图形，