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1、函数极限连续研究的对象〕研究的工具>微积分学的基础研究的桥梁丿(英1642-1727)(德1646-1716)(法1789-1857)参考：第一章（第一节，第二节）§1-1函数和连续的概念、性质和应用一・方法指导1.对函数的理解和讨论(1)定义fXGXI—y^Y={yy=f(x).XEx}定义域对应规律值域(定义域——使表达式及实际问题有基本要素意义的自变量取值集合.＜对应规律表示方式：解析法；图象法；表格法.＜值域ob基本初等函数)四则运算
2、复合运算反演运算＞(1)基本特性——有界性，单调性，奇偶性，周期
3、性.⑶基本结构r初等函数——有限次运算且用一个式子表示(分段函数非初等函数］级数表示的函数(4)常用的等式与不等式1、2、y^2=讪+1)(2〃+1)右=6Xr+X2+--+Xnr——a1a23、n已知等差数列首°i和公差〃，则的通项可表示为:an=%+(n-l)dneN+w项的和为S”，即S”=%+色an~2特别廿二讪+1)k=i24、等比数列的前〃项和的公式设等比数列｛an｝前〃项的和为，即S&=%+^2+・••+色2根据等比数列的通项公式，上式可以写成:Sfl=%+axq+(1才1-axqn~x(1
4、)上式两边同时乘以g有：qSn-axq+a^q2+HFaxqn(2)上(1)式两边分别减去(2)式的两边得:特别騎沽(l-g)S&=%-axqn当少1时s』d)"1—q2.函数的连续与间断（1）连续性的等价形式X->Xqy=于（对在A：。连续hm/（兀）=/（兀。）limAy=0AxtO‘Ax=x-x0kAy=/(%)-/(x0)?f（X。）=/（%o）=/（”o）-Vw>0，m5>0,当X-Xo<力时/(x)-f(x0)<£(2)闭区间上连续函数的性质(P4,5)有界定理；最值定理；介值定理；零点定理(1)
5、函数的间断点/(%—)=/(畸)「可去间断点:第一类间断点｛I跳跃间断点:第二类间断点［无力间断点I振荡间断点二.实例分析例1•设
6、门兀）+于（（斗）=2対其中兀工0,1,求解:令t=X丿即//（古）+"）=咅’再令在=罟，则口则%=-3_代入原方程得土+2吉1~~代入上式得/（罗）+/（在）=咛即/（在）+/（乎X字将①，②两式与原方程联立，解得/（兀）=兀+++在—1例2•设于（兀）=0用（+=））其中°〉0，°H1，0（兀）满足0（兀+丁）=0（兀）+0（刃，判断/（X）的奇偶性.11解：令g（Q=+入
7、，贝Uax-l2兀g（兀）+g（_兀）二一+*+。兀+丄=0故g（x）为奇函数."11—"2又令y=0,得g+0）=0（兀）+0（0），故0（0）=0，而0=©（O）=（p（x+（-%））=0（兀）+0（_兀）故0（X）为奇函数.因此/⑴=0（x）g⑴为偶函数.例3・求常数P及函数g(x),使函数于(兀)二”」+匕兀》0，为连续的奇函数。g⑴，x<0解：连续的奇函数有/'(0)=0,即l+k=o，£=—1，/(兀)=x>0x<022g⑴=-/(-%)=-07—1]=1—厂所以「厂J]，X>0/(%)=Y]_厂
8、[%<03x+1,x1当/(兀)<1时xv0；当/(x)>1时，x>l，0W兀<1f9x+4,x<0f(5=3兀+1，兀，11例5•设于(兀)=—sin—，证明/(x)在(0,1]上无界，xx但lim/(%)Hoo.(P8•例4)证：在(0,1)中取点列g=2k兀+则有于氐)=(2k/r+y)sin(2£;r-+=2k兀十%k-2[—0.7,—0.02]
9、[0.02,0.7]显然，/(Q在(o,l]上无界
10、.1但，若取点列Xn—,n=0丄2,…，nn则xn^0(“too)，而/(兀)=0,故lim/(x)Hoo・兀t()+]9oo例6•求函数f（x）=判别间断点的类型.(1+%)sinx的间断点，并解：/（兀）=(1+x)sinxX(X+l)(x—1)所以/（X）有间断点兀=—1，0，1]營）Si"Jsinl,「一愛早一类x-》-1卜
11、（ZJ）（X—1）2，可去间断点limf（x）=oo,x=l为第二类无穷间断点X-》1lim/（x）=-l,limf（x）=l,x=0为第一类宀0+so跳跃间断点鈕Inx例7•设
12、函数f（x）=^—^sinx则于（兀）有（A）；A.1个可去间断点，1个跳跃间断点；（2008考研）B.1个可去间断点，1个无穷间断点；C.2个跳跃间断点；D.2个无穷间断点。解：只有两个间断点兀=0,兀=1In1x1lim-―—5兀_1xlnxsinx=lim；=0x=0为可去间断点;lim心厂sinx=sin1limx->rInxlim
13、rsinx=sin1limXT1+X-l兀T1+ln
14、l+
