【精品】矩阵论矩阵分析.doc

《【精品】矩阵论矩阵分析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第三章矩阵分析在此之前我们只硏究了矩阵的代数运算，但在数学的许多分支和工程实际中，特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算.本章首先讨论矩阵序列的极限和矩阵级数，然后介绍矩阵函数和它的计算，最后介绍矩阵的微积分，以及矩阵分析在解微分方程组和线性矩阵方程中的应用.§3.1矩阵序列定义3.1设有Cmx"中的矩阵序列｛肝｝,其中刃.若Jim硝)=a.tj(/=1,2,…，力;j=1,2,・・・‘)，则称矩阵序列［A(k)］收敛于A=(知)”呦，前尔力为矩阵序列［A(k)］的极限，记为limAik］=A或—>A(k->+oo)不收敛的矩阵序列称为发散.由定义可见，C"'x"中一个矩阵序列的收

2、敛相当于加〃个数列同时收敛.因此，可以用初等分析的方法来研究它.但同时研究个数列的极限未免繁琐.与向量序列一样，可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限.定理3・1设4⑹，4wC"呦伙=0,1,2,…).则lim=A的充分必要条件是!覚

3、川)—a

4、=o,其中

5、

6、

7、

8、是cWXM±的任一矩阵范数.T~aij证先取C"呦上矩阵的G・范数.由于硝）一aij

9、

10、

11、

12、,存在正常数卩,使得a

13、A⑹—x

14、

15、r<

16、川）一A

17、501A⑹一A故lim

18、

19、八）kfgII一4=0的

20、充分必要条件是limGkfg推论设,AwC恥"伙=0,1,2,…)lim屮)=A.则其中

21、

22、

23、

24、是Cwxz,±任一矩阵范数.证由II八)

25、-制

26、卜

27、川)-州即知结论成立.证毕需要指出的是，上述推论的相反结果不成立.如矩阵序列不收敛.但limA{k}=lim6+——!~~=V6Rt+ccF・丫卄叫(£+[)_收敛的矩阵序列的性质，有许多与收敛数列的性质相类似.定理3・2设limA(n=A,limB(k)=B，其中A(n,B(k},A,B为适当阶的矩阵,RtpAt+00a,BEC.贝(1)lim(aA(k)+0B®=aA+^B；£->+oc(2)limA(k)B(k)=AB；(3)当4")与A

28、均可逆时，lim(A⑹)》=A'1.证取矩阵范数IIII,有

29、(力4血+0肿)_(z4+0B)

30、

31、勻圳肝一舛+

32、州刘一邮A(k}B(k}-AB^=卜⑷砂)_人⑹b+A{k}B一ABS

33、A纠

34、(B⑹一B(+卜⑹一绷

35、B

36、由定理3.1和推论知⑴和(2)成立.因为(A⑹)",A"存在,所以limdetA{k)=detA0,又有limadjA(^=adjA•于是lim(A⑹尸=lim兰込;=型"=证毕r->+8rtpjetA('detA定理3.2(3)中条件A⑹与A都可逆是不可少的，因为即使所有的4⑹可逆也不能保证A(1)1+—I一定可逆.例如k对每一个A⑹都有逆矩阵（A⑹）"=一，但屮k+

37、）（1\limA（"）==AIjJ而4是不可逆的.在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幕构成的序列.关于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理.定义3.2设AuCnxn,若lim屮）=0,则称A为收敛矩阵.定理3・3设AeCnxn,则人为收敛矩阵的充分必要条件是Q⑷<1・证必要性.已知A为收敛矩阵，则由谱半径的性质，有（P（A）r=p（^）<

38、

39、aa

40、其中IIII是C""上任一矩阵范数，即有lim（z7（A）y=0,故以幻<1・充分性.由于Q⑷<1,则存在正数£,使得P（A）+e<1.根据定理2.14,存在C'g上的矩阵范数

41、

42、IL,使得

43、

44、4

45、

46、”,<°（幻+£<1从而由

47、勒

48、,”<

49、

50、

51、4

52、

53、：得!覚I勒L=0•故limAk=0.左一证毕M有同<1,则A为收敛矩阵.推论设AeCnxn.若对C"x"上的某一矩阵范数例3・1判断下列矩阵是否为收敛矩阵:<1-8、‘0.20.10.2、:(2)A=0.50.50.4—21/,0.10.30.2丿d)A=-6解⑴可求得4的特征值为入=』，人=一丄，于是。（幻=3<1,故A是收敛矩阵;626（2）因为制

54、广0.9<1,所以4是收敛矩阵.§3.2矩阵级数定义3.3由CWXM屮的矩阵序列｛A（k）｝构成的无穷和A（0）+"）+•••+屮）+…称为矩+00N阵级数，记为工A⑷.对任一正整数N,称为矩阵级数的部分和.如果由部+00=S,则

55、称矩阵级数工4"）收*=0*=（）k=0分和构成的矩阵序列｛S（N）收敛，且有极限S,即limS（"）敛，而且有和S,记为s=£a⑹不收敛的矩阵级数称为发散的.k=0如果记屮）=（硝））唤，s=（5,u，显然s=》屮）相当于"（）工=sij0=1,2,…，加;)=1,2,…/)k=0即mn个数项级数都收敛.例3.2伙=0丄…）伙+1)伙+2)丿研究矩阵级数工A⑷的敛散性.解因为Ns(.v)=£A(n=心00(NN£承k