泛函分析中不动点理论及其应用.doc

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1、泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由定理表明：当稠定闭算子A满足定理条件时，是下列方程的解，且解是唯一的。设A是一个实矩阵，方程组在空间中解存在唯一。设，考察映射则是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群通过矩阵写出来：.且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理微分方程解的存在性与唯一性定理若常微分方程满足以下条件：（1）在整个

2、平面上连续；（2），其中>0；那么存在唯一的连续函数满足且。证明：用表示所有定义在上取值于的连续函数全体，其中满足。，用表示间的距离，同样由泛函分析的知识知为完备度量空间。上述常微分方程等价于等价于积分方程，定义映射，由的连续性知，因为，故存在唯一的连续函数，使得，显然可微，所以满足且，然后在延拓到整个上即得。第二，应用不动点定理证明隐函数定理（隐函数定理）若满足以下条件：（1）函数在为内点的某一区域上连续；（2）；（3）在内存在连续的偏导数；（4）。则在的某领域内，方程唯一地确定了一个定义在某闭区间上内的函数，使得（

3、1），当时，且；（2）在内连续。证明：用表示所有定义在上取值于的连续函数全体。其中，。，用表示间的距离。由泛函分析的知识知为完备度量空间。取,定义映射，使得，则。，由微分中值定理及的连续性得：其中，又在处连续，所以取当时，有。于是，从而。由定理知，在中存在唯一的不动点，即存在唯一的连续函数使得代入的定义可得，定理得证。