泰勒公式和泰勒级数.pdf

《泰勒公式和泰勒级数.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、n一幂级数—an(xx0)n0nanxn0二幂级数的收敛半径ann1定理1如果幂级数anx的系数满足条件lim

2、

3、lnan0n1则(1)当00和R2>0,则nnn(anbn)xanxbnx=f(x)g(x).n0n0n0的收敛半径Rmin{R1,R2}.n2设幂级数anx的收敛半径R>0,则在收敛区n0间

4、(R,R)内,其和函数S(x)是连续函数.n若级数anx在端点收敛,则S(x)在端点单侧连续.n0n3幂级数anx的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内n0可导,并可以逐项求导任意次,且求导后级数的收敛半径不变.即f(x)=(axn)(axn)naxn1nnnn0n0n=1x(R,R)n4幂级数anx的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可n0积,并可逐项求积分,且积分后级数的收敛半径不变.xxnxaS(t)dt(at)dtatndtnn1即0nnx.0n0n00

5、n1n0x(R,R)注:常用已知和函数的幂级数n1(1)x;n01xn1(2)(x);n01x(1

6、(xx0)一次多项式f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0)不足:1.精确度不高;2.误差不能定量的估计.如何提高精度?需要解决的问题如何估计误差?希望:在x0点附近,用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)nf(x)n次多项式系数的确定猜想近似1若在x0点相交y程P(x)=f(x)度n00y=f(x)越2若有相同的切线来越Pn(x0)=f(x0)y=Pn(x)好3若弯曲方向相同P(x)=f(x)ox0xn00假设Pn(k)(x0)=f(k)(

7、x0)Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,2,3,···,nPn(x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+···+nan(xx0)n1Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+···+n(n1)an(xx0)n2P(n)(x)=n!ann令x=x0得a0=f(x0),即有a0=f(x0),a1=f(x0),a1=f(x0),f(x)02a=f(x),a2022!(n)f(

8、x)n!a=f(n)(x),a0n0nn!Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n(k)f(x)0akk=0,1,2,3,···,nk!代入Pn(x)中得f(x)P(x)=f(x)+f(x)(xx)+0(xx)2+···n00002!(n)f(x)+(0xx)n0n!称为函数f(x)在x0处的泰勒多项式.(k)f(x)0akk=0,1,2,3,···,n称为泰勒系数k!f(x)=Pn(x)+o(xx0)n.定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域UR(x0)内具有直到n+1阶

9、连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x0)2f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(xx0)(n)2!f(x0)n(xx0)+Rn(x)(1)n!(n1)f()n1其中Rn(x)(xx0)(在x0与x之间)(n1)!公式(1)称为函数f(x)在x0处的泰勒公式.Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.(k)f(x)0泰勒系数ak=0,1,2,···,n是唯一的.kk!证由于f(x)在UR(x0)内具有n+1阶连续导数,f(x0)2设f(x)=f(x)+

10、f(x)(xx)+(xx)00002!(n)f(x0)nkn1(xx0)(xx0)n!(n1)!作辅