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1、第6次数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性计算方法(NumericalAnalysis)第四章数值积分数值积分引论机械求积方法以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型求积公式插值型求积公式的例子求积公式的收敛性和稳定性数值积分引论第四章数值积分4.0引言若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式:求定积分的值。评论：Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题。(1)被积函数f(x)没有用初等函数的有限形式表示的原函数F(x
2、)，例如：(2)被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如的原函数：则无法应用Newton-Leibnitz公式。在实际计算中经常遇到以下三种情况：(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函数计算积分的准确值都是十分困难的。因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。Home机械求
3、积方法4.1数值积分概述图4-1数值积分的几何意义积分值的几何表示：由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。4.1.1数值积分的基本思想y=f(x)yab最常用的建立数值积分公式的两种方法：本段讲授机械求积方法.即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但点ξ的具体位置是未知的,因而的值也是未知的。第1种：机械求积方法.第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得谜三个求积分公式y构造出一些求积
4、分值的近似公式。则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。梯形公式中的y中矩形公式中的例如分别取：①梯形公式xaby=f(x)ab用梯形面积代表积分值②中矩形公式y=f(x)abyx(a+b)/2ab用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值y=f(x)y③Simpson公式abSimpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值的加权平均值作为平均高度f().(a+b)/2Home以简单函数近似逼近被积函数方法插值型求积公式先用某个简单函数近似逼近f(x),用代替原被积函数f(x)，即函数应该对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。第2
5、种：使用简单函数近似代替被积函数的方法以此构造数值算法。通常，将选取为f(x)的插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。要求：4.1.2插值求积公式其中，对k=0,…,n设已知f(x)在节点有函数值,作n次拉格朗日插值多项式……其中称为求积系数。取作为的近似值，即记为定义4.1求积公式当其系数时，则称求积公式为插值（型）求积公式。(4.1)记(4.1)的余项为，由插值余项定理得其中注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时，因此，求积公式(4.1)成为准确的等式。例1给定插值节点为定积分构造插值求积公式。解：以这三点为插值节点的Lagra
6、nge插值基函数为从而，得到插值型求积公式如下：例2设积分区间[a,b]为[0,2]，取解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示计算其积分结果并与准确值进行比较。分别用梯形和辛卜生公式：f(x)1xx2x3x4ex定积分准确值222.6746.406.389梯形公式计算值2248168.389辛卜生公式计算值222.6746.676.421可以看出，当f(x)是x2,x3,x4时,辛卜生公式比梯形公式更精确。梯形公式辛卜生公式同学们，自己验证某求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。代数精度的定义：如果求积公
7、式（4.1）对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度。…在公式4.1中，令f(x)=1,x,x2,x3,…,xn若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数应满足:………其系数矩阵当互异时，有唯一解………………定理4.1n+1个节点的求积公式为插值型求积公式公式至少具有n次代数精度。证:必要性.设n+1个节点的求积公式插值型求积公式判断条件为插值型求积公式，求积系数为：又，当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。充分性：若
8、求积公式至
