数学分析习题.docx

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1、习题小组成员：刘浩思、梅卓、韩亚松、陈薇、石帆、陈越一．选择题（每题一分，共1*10=10分）1.已知函数f(x)所对应的一个原函数为,则（）与等价A.B.C.D.2.下面计算结果正确的是=()A.B.CD.3.当a,b,c满足（）条件时，的原函数仍是有理函数A.a=0,b=0,c=RB.a=0,c=0,b=RC.a=1,b=1,c=1D.a=0,c=1,b=14.下列反常积分收敛的是（）A.B.C.D.5.如果在[-1,1]上连续,且平均值为2,则()A.1B.-1C.4D.-46.若，则k=()

2、.A.1B.2CD7.设是连续函数,且,则().A.B.C.D.8.()A.B.C.D.9.设时，与是同阶无穷小，则n=()A.1B.2C.3D.410.设函数,是大于0的可导函数，且0,则当啊a

3、______________5.6.7.8.9.设,都是的原函数，则与满足的关系是_______________10.在点(2,2)的曲率是__________三．计算：（每题2分，共2*20=40分）1.2.3.4.5.6.7.dx8.9..10.11.12.13.14.15.16.dx17.18.19.dx20.四．证明题（每题4分，共4*10=40分）1.证明反常积分的敛散性；2.证明反常积分的敛散性(p,q)3.证明：若和收敛，和为常数，则也收敛，且=4.设收敛，且，证明A=0.5.设绝对收

4、敛，且=0，证明收敛。6.证明：In==7.设f(x)和g(x)在[a,b]上都可积，请举例说明在一般情况下有8.设f(x)在[a,b]上连续，且,证明f(x)在[a,b]上恒为09.（利用拉格朗日中值定理证明：）当x>0时，ln（1+x)

5、面积s∴s=2*2=4.6.C解析：，k=ln27.A解析：设G(x)为f(x)的原函数,.8.C解析：同（7）题。9.C解析：,∵时，；∴时,∵∴tanx-x与是等价无穷小。∴等价无穷小∴时，,∴n=3.10.A解析：考虑单调性∵,∴a

6、x

7、/2+c2.y=3.4.-[]+c5.06.07.e8.-19.F(X)-G(X)=C10.三.计算题1.2.3.4.令x=tant5.令6.∴7.令8.,则，解得A=1.C=-1,B=,D=所以∫=∫（）dx+∫（）dx=

8、ln

9、

10、+ln

11、

12、-arctanx+C9.令10故11.12)13.14.0(奇函数在对称区间上积分为零)15.令16.令令∴171819.令20.令+c四．证明题：1.证：由于，而收敛，故也收敛（2分）又arctanx在[1,+]上单调有界，因此又Abel判别法，收敛（4分）2.证明：因为==1（1分）所以当p-q>1时，收敛，从而收敛（2分）当p-q1时，发散（3分），从而也发散。（4分）3.证明：令==（1分），则=（2分）=（3分）=故收敛。（4分）4.证明：若A0，不妨设A>0，则由=A知

13、，对>0，M>max{0,a},当x>M时，有

14、f(x)-A

15、<（2分）所以f(x)>A-=，于是=(3分)而发散，故发散，这与已知矛盾，因此A=0.（4分）5.证明：由=0知，使得当x>A时，总有

16、f(x)

17、<1(2分)即<=

18、f(x)

19、,因为积分d(x)收敛。故收敛。（4分）6.,令∴∴（4分）7.例如，则所以8.证明：反证法若f(x)在[a,b]上连续，可知在[a,b]上连续，且与矛盾，所以f(x)在[a,b]上恒为0.9.证：设f（t)=ln(1+t)，则f’（t)=.因为ln（1+t）在[

20、0,x]上连续。在（0,x)上可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，（0，x），使ln(1+x)-ln(1+0)=,即ln（1+x）=.因为0<