数学建模-图论模型-图论.doc

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1、图论算法§1最小生成树1．1生成树的概念   设图G＝(V，E)是一个连通图，当从图中任一顶点出发遍历图G时，将边集E(G)分成两个集合A(G)和B(G)。其中A(G)是遍历图时所经过的边的集合，B(G)是遍历图时未经过的边的集合。显然，G1＝(V，A)是图G的子图，则称子图G1是连通图G的生成树。图的生成树不是惟一的。如对图1(a)，当按深度和广度优先搜索法进行遍历就可以得到图1中(b)和(c)的两棵不同的生成树，并分别称之为深度优先生成树和广度优先生成树。       对于有n个顶点的连通图，至少有n-1条边，而生成树中恰好有n-1条边，所以连通图的生成树

2、是该图的极小连通子图。若图G的生成树中任意加一条边属于边集B(G)中的边，则必然形成回路。   求解生成树在许多领域有实际意义。例如，对于供电线路或煤气管道的铺设问题，即假设要把n个城市联成一个供电或煤气管道网络，则需要铺设n－1条线路。任意两城市间可铺设一条线路，n个城市间最多可能铺设n(n－1)/2条线路，各条线路的造价一般是不同的。一个很实际的问题就是如何在这些可能的线路中选择n-1条使该网络的建造费用最少，这就是下面要讨论的最小生成树问题。1.2网的最小生成树   在前面我们已经给出图的生成树的概念。这里来讨论生成树的应用。   假设，要在n个居民点之

3、间敷设煤气管道。由于，在每一个居民点与其余n－1个居民点之间都可能敷设煤气管道。因此，在n个居民点之间，最多可能敷设n(n-1)/2条煤气管道。然而，连通n个居民点之间的管道网络，最少需要n-1条管道。也就是说，只需要n-1条管道线路就可以把n个居民点间的煤气管道连通。另外，还需进一步考虑敷设每一条管道要付出的经济代价。这就提出了一个优选问题。即如何在n(n-1)/2条可能的线路中优选n-1条线路，构成一个煤气管道网络，从而既能连通n个居民点，又能使总的花费代价最小。   解决上述问题的数学模型就是求图中网的最小生成树问题。把居民点看作图的顶点，把居民点之间的

4、煤气管道看作边，而把敷设各条线路的代价当作权赋给相应的边。这样，便构成一个带权的图，即网。对于一个有n个顶点的网可以生成许多互不相同的生成树，每一棵生成树都是一个可行的敷设方案。现在的问题是应寻求一棵所有边的权总和为最小的生成树。   如何构造这种网的最小生成树呢?下面给出这样一种解法：   21(1)已知一个网，将网中的边按其权值由小到大的次序顺序选取。   (2)若选某边后不形成回路，则将其保留作为树的一条边；若选某边后形成回路，则将其舍弃，以后也不再考虑。   (3)如此依次进行，直到选够(n-1)条边即得到最小生成树。       现以图2为例说明此算

5、法。设此图是用边集数组EV表示的，且数组中各边是按权值由小到大的次序排列，如下表所示。k12345678910EV[k].p12242651115EV[k].p23436475626COST[EV[k].p1,EV[k].p2]561011141819212733   按权值由小到大选取各边就是在数组中按下标k由1到en(图中边数)的次序选取。选前2条边(2，3)，(2，4)时均无问题，保留作为树的边；到第3条边(4，3)时将与已保留的边形成回路，将其舍去；同样继续做：保留(2，6)；舍去(6，4)；保留(5，7)，(1，5)，(1，6)，此时，保留的边数已够

6、(n-1)=6条边，此时必定将7个顶点全部互相连通了，后面剩下的边(1，2)，(5，6)就不必再考虑了。最后得到的最小生成树如图2a中深色边所示，其各边权值总和等于80。由离散数学中的图论可以证明，这就是最小生成树了，其权值最小。当图中有权值相等的边时，其最小生成树可能有不同的选取方案。   实现此算法的关键是，在选取某条边时应判断是否与已保留的边形成回路。   这可用将各顶点划分为集合的办法解决：假设数组tag(1..en)作为顶点集合划分的标志初值为0。在算法的执行过程中，当所选顶点u，v是连通的，则将相应位置的tag[u]，tag[v]置以相同的数字，而

7、不连通的点在初期分属不同的集合，置不同的数字；一旦两个不同的连通分支连通了，则修改tag的值，将新的连通分支改为相同的数字。我们以图2为例。首先选(2，3)(2，4)边，由于是连通的，并且不出现回路。tag[2]:＝1，tag[3]:=tag[4]:=1是同一个集合A；选(6，2)边与A集合连通；tag[6]:=1；再选(5，7)与集合A不连通，tag[5]:＝tag[7]:＝2构成另一集合B；选(1，5)边与集合B连通，tag[1]:=2；此时，集合A＝{2，3，4，6}；集合B＝{5，7，1}；当选(1，6)边时，(1，6)与集合A、集合B都连通，并且两个

8、顶点分别属于两个不同的集合A、B，这使