高斯平面直角坐标系.ppt

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1、§4.9高斯平面直角坐标正形投影的一般条件高斯投影的要求高斯投影的方法高斯投影的正反算平面子午线收敛角方向改化距离改化1正形投影的一般条件本质：正形投影中长度比与方向无关P3'上式中q为等量纬度，计算公式为引入等量纬度后，使相同的dq与dl所对应的椭球面上的弧长相同。也就是dq与dl看成是相互独立的变量引入等量纬度后，投影公式为：求微分，得：其中：l=L-L0代入则，长度比公式为：令上面是长度比公式,我们再来看方向,它是用方位角表示的本质是它与方向无关,也就是与方位角无关要使长度比与方向无关，只有：F=0,E=G，椭球面到正形投影平面的柯西__黎曼条件(Kauch

2、i-Rimann方程)，满足该方程的函数可写成复变函数关系：则长度比公式简化为:其反函数也是复变函数，可以写成：正形投影平面到椭球面的一般条件(自己下去推导)柯西__黎曼条件的几何意义AB?AC?AB’?BB’?CC’?AC’?同样推出柯西__黎曼条件，同时得到子午线收敛角公式2高斯投影的要求1等角投影（正形投影）。好处：⑴角度观测元素不变；⑵微小范围内形状相似，m只与点位有关2长度和面积变形小，可以用简单的公式计算变形改正数3投影后可以按带计算4带间互相换算方便3.高斯投影的方法与一条子午线相切椭圆柱中心通过椭球体中心中央子午线两侧各一定经差范围柱面展开成平面我

3、国采用6、3度带。中央子午线与带号的关系6度带0度开始，自西向东编号3度带6度带基础上形成高斯平面直角坐标以中央子午线为纵坐标轴，赤道为横坐标轴Y通用坐标=带号+500Km+y自然坐标3.高斯投影的正反算P坐标(B,l)PC⊥中央子午线C坐标(B0,0º)PP1平行圈P1坐标(B,0º)X为赤道至纬度B的子午线长P‘(x,y)C(x,0)P1坐标(X,0)椭球面归算到高斯投影面的内容1.检核正反算2.大地方位角计算3.椭球面上三角形内角归算到高斯投影面上由直线组成的三角形内角;方向改化实现4.距离改化总之工作包括:坐标、曲率改正、距离改正、子午线收敛角、换带计算高

4、斯投影正算(待定系数法)1.中央子午线投影后为直线；得出对称关系2.中央子午线投影后长度不变；3.投影具有正形投影的性质,即正形投影条件按l展开级数其中mi是B的函数对l和q求导代入柯西条件同次项相等关键在于根据2.中央子午线投影后长度不变；得到x为投影前赤道到该点的子午线长；即其各阶导数为：得到高斯投影正算公式如下：为便于编程计算，可将正算公式改写成如下形式：高斯投影反算(待定系数法)1.X坐标轴投影后成中央子午线,是投影的对称轴2.X坐标轴上的长度投影保持不变3.正形投影条件其中ni是x的函数对于反算公式关键在于根据2.X坐标轴上的长度投影保持不变;即其各阶导

5、数为：得到高斯投影反算公式如下：为便于编程计算，可将正算公式改写成如下形式：高斯投影正反算公式的几何解释BXxXBf高斯投影特点：⑴中央子午线为直线，x轴⑵赤道为直线，y轴⑶中央子午线和赤道交点，原点⑷L不变，B↑；x↑，y↓其他子午线均向中央子午线弯曲，向两极收敛⑸B不变，l↑；x↑，y↑纬圈投影与子午线投影互相垂直，凹向两极距中央子午线愈远，投影后弯曲愈厉害，长度变形愈大⑹大地线形状球面三角形的内角和大于１８０度（也就是弧度制的π）。假如这个球面三角形内角和（弧度制）与π之差是ε，那么这个球面三角形的面积就等于εＲ＾２。如果是单位球面，也就是Ｒ＝１，那么这个测

6、地三角形的面积就等于ε。换句话说，在单位球面上，任意测地三角形内角和与π之差正好等于其面积。四边形同样成立。勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去三分之一的球面角超，而边长保持不变。ABCabc得出：大地线形状是弯向纵轴的高斯投影曲线的形状是向x轴弯曲，并向两极收敛。作业已知某点的坐标：B=3030L=11420计算：1).该点的3带和6带带号；2).该点的3带高斯投影坐标并反算检核（按1975国际椭球）；5平面子午线收敛角和长度比5.1平面子午线收敛角的计算公式平行圈子午线沿平行圈纬度不变，求

7、微分得：5.1平面子午线收敛角的计算公式对高斯投影公式求偏导数，得：5.1平面子午线收敛角的计算公式代入上式，得：将展开成tg的级数，得：5.1平面子午线收敛角的计算公式由此可见，是经差的奇函数，在x轴为对称轴，东侧为正，西侧为负。子午线收敛角在赤道为0，在两极等于经差l，其余点上均小于经差l。5.1平面子午线收敛角的计算公式子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式。平行圈L=常数L+dl=常数P点沿y轴变化微分长度到P点，子午线收敛角可表示为：沿y坐标的微分，得：5.1平面子午线收敛角的计算公式代入子午线收敛角公式，得：由高斯投影反算公式求出偏导

8、数，得：5