极值和极值点的概念.ppt

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1、2.6.1极值和极值点的概念定义2.6设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于x0的x恒有(1)f(x0)>f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，x0称为f(x)的极大值点；(2)f(x0)

2、)x0再看下面函数曲线：极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定大于极小值．如P41书上图2-5定理2.6<1>(极值的必要条件)设函数y=f(x)在x0处可导，且f(x0)为极值(即x0为值点)，则f(x0)=0.即函数的极值点必为驻点或不可导点<2>(极值的第一充分条件)设函数y=f(x)在x0的一个邻域内可微(在x0处可以不可微，但必须连续)，若当x在该邻域内由小于x0连续地变为大于x0时，其导数f(x)改变符号，则f(x0)为函数的极值.x0为函数的极值点，并且(1)若导

3、数f(x)由正值变成负值，则x0为极大值点，f(x0)为f(x)的极大值；(2)若导数f(x)由负值变成正值，则x0为极小值点，f(x0)为f(x)的极小值.<3>(极值的第二充分条件)(1)当f(x0)>0时，则x0为极小值点，f(x0)为极小值；(2)当f(x0)<0时，则x0为极大值点，f(x0)为极大值.若f(x0)=0，且f(x0)0，则x0是函数的极值点，f(x0)为函数的极值，并且设函数y=f(x)在x0处的二阶导数存在，运用定理2.6求函数极值的一般步骤是：(1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导数

4、不存在的点；(2)考察上述点两侧一阶导数的符号(或考察上述点的二阶导数的符号)，确定极值点；(3)求出极值点处的函数值，得到极值.补充例题1.求f(x)=x33x29x+5的极值.解:f'(x)=3x26x9=3(x+1)(x3)令f'(x)=0解得驻点x1=1,x2=3x=1:x<1时f'(x)>0.x>1时f'(x)<0x=3:x<3时f'(x)<0.x>3时f'(x)>0极大值f(1)=10.极小值f(3)=22.补充例题2.求f(x)=的极值解:x<0时,f'(x)<0,x>0时,f'(x)>0故得

5、极小值f(0)=0xy0补充例题3.求的极值.解:f(x)以2为周期，故考虑区间[0,2)令f'(x)=cosxsinx=0又有得驻点由定理2.6知由周期性知分别为f(x)的极大值点和极小值点.补充例题4求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3的极值.解(1)定义域为(-,+).f(x)=(x-1)(x-2)2(5x-7).所以由f(x)=0可得f(x)的三个驻点：该函数在定义区间内无不可导的点，上述驻点将定义区间分为四个子区间(2)当x(-,1)时，f(x)>0；f(x)>0；当x(2,+)时，f(x

6、)>0.因此，由定理3可知，x=1为极大值点，x=2不是极值点(因为在x=2的两侧f(x)同为正号).(3)计算极值极大值f(1)=(1-1)2(1-2)3=0，有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-,1)f(x)12(2,+)+0-0+0+f(x)极大值0无极值补充例题5求函数f(x)=x4–10x2+5的极值.因为解(1)定义域为(-,+).f(x)=4x3–20x=4x(x2-5)，所以，由f(x)=0可得该函数的三个驻点所以有由定理2.6可知：(2)因为f(x)=12x2–20，(3)计算极值：请

7、阅读书上第41页例1和例2例1求函数的极值．例2求函数在区间内的极值．３．函数的最大最小值在很多实际问题中，需要求出最大或最小值．表示这些问题的函数一般在区间上是连续的．根据以上讨论，具备这种条件的函数的最大、最小值总是存在的，它们只可能在的点、不存在的点或区间端点处取得．求在上最大、小值的步骤：(1)求出及不存在的点；(2)比较的大小．其中最大的便是最大值，最小的便是最小值补充例题6.求f(x)=x48x2+2在[1,3]上的最大值和最小值.解：f'(x)=4x316x=4x(x2)(x+2)令f'(x)=0得驻点x1=

8、0,x2=2,x3=2(舍去)计算f(0)=2,f(2)=14f(1)=5,f(3)=11所以最小值f(2)=14,最大值f(3)=11补充例题7.求f(x)=x2ex的最大值和最小值.解：f(x)在定义域(,)上连续可导且f'