高一数学同步辅导第5讲.doc

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1、高一数学同步辅导资料（5）[本周复习进度]一.§1.8充分条件与必要条件二.第一章有关内容的复习和练习注：“充分条件”和“必要条件”是数学中最重要的概念之一.以前我们学习了命题“若P则q”的问题.其中我们已经做了比较多的练习和习题了解到命题的构成：条件和结论，其中也不乏判断命题的真伪.这些内容都是在§1.8中继续学习的重要内容和依据.同时，为了配合大家的学习我们给出了第一章的有关复习内容.请同学们认真阅读.[重点和难点]“充分必要条件”的判断是本节的重点和难点它们的依据将是“充分条件”和“必要条件”的意义.因此，掌握其命题中命题条件和结论之间的逻

2、辑关系是正确进行推理的必不可少的重要基础.一.§1.8充分条件和必要条件[重点分析和讲解]1．推断符号前面学习了“若p则q”形式的命题，有二种可能：其命题如何命题“若p则q“为真命题时是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立.记作.如果由p推不出q，命题为假，记作pq,此时称符号为推断符号时表示的命题为假命题2．充分条件和必要条件一般地，如果已知，那么我们说p是q的充分条件，q是p的必要条件.或者称q的充分条件是p，p的必要条件是q.注：①充分的含义：由“pÞq”表明由条件p足以充分地条件q，不需用要其他的条件就能由p推得

3、q，所以称p是q的充分条件.例如：由x>0Þx2>0,由两个三角形全等Þ两个三角形面积相等.这些推理不需用要其它条件就可以使结论成立.②必要的含义：“pÞq”是真命题，那么“若q则p”是否为真命题时，就会发现由q并不一定推得p，但如果说没有q就一定推不出p，也就是说q是p成立的必不可少的条件.故称q是p的必要条件.由x>0Þx2>0例中可知：p为x>0q为x2>0.但由x2>0并不一定保证让能推出x>0,但若x2≤0肯定x>0的条件不成立.再比如两个三角形全等Þ两三角形面积相等例子中，如面积相等的两个三角形并不一定全等，但面积不等的两个三角形一定

4、不全等.综合以上所述，由“pÞq”可知由p一定能得q;由q并不一定得p，但没有q就一定得不出p，这就是充分与必要条件的区别.3．充要条件一般地，如果既有pÞq又有qÞp,就可记作pÛq,这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件。简称为充要条件.q同时也是p的充要条件.注：①充分条件，必要条件，主要条件是指同一命题为真命题时的条件与结论之间的关系，而不是两个命题之间的关系.②命题的条件p和结论q之间的关系，可以作如下区分10若pÞq且qp,则p是q的充分而不必要的条件20若qÞp且pq，则p是q的必要而不充分的条件30

5、若pÞq且qÞp,则p是q的充分且必要的条件40若pÞq且ØpÞØq，则p是q的充分且必要的条件.③从集合的观点看充分必要条件设p包含的元素组成集合A.q包含的元素组成集合B.如果有以下的情况成立10若AB，则p是q的充分不必要条件.20若AB，则p是q的必要不充分条件.30若A=B，则p、q互为充分必要条件.40若AB，且BA，则p、q互为既不充分也不必要条件.④充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在判断时应该注意以下问题10确定命题的条件是什么，结论是什么.20判断是由条件推结

6、论还是由结论推条件.30确定条件与结论之间的关系，即结论是条件的充分条件，必要条件还是充要条件.40证明命题的条件是充分必要的时候，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即说明条件的必要性[例题讲解，典型应用]例1：在下列各题中，p是q的什么条件？①p:x2=y2,q:x=y②p:四边形的两条对角线相等，q:四边形是矩形.③p:

7、x-2

8、≤3q:x≥-1或x≤5.④解：①：∵x2=y2Þx=y或x=-y∴pq,而qÞp∴p是q的必要而不充分条件②由平面几何知识可知：pq但qÞp.∴p是q的必要而不充

9、分条件.③p:

10、x-2

11、≤3的解集为A：{X

12、-1≤X≤5}而集合B为x≥-1或x≤5的解集知B=R∴AB.∴pÞq但qp∴p是q的充分而不必要条件.④分别解出p,q的解集为A={0，3}；B={-1，3}，∴AB且BA，∴p是q的既不充分也不必要的条件.例2：已知a>0求证：x2>a的充要条件是例3：已知p是γ的充分条件，q是γ的充分条件，s是γ的必要条件，又是q的充分条件，问：（1）s是γ的什么条件？（2）p是q的什么条件？解：（1）由已知得pÞγ，qÞγ，γÞs，sÞq.∴sÞqÞγ得sÞγ又知γÞs∴s是γ的充分必要条件.(2)由pÞγÞ

13、sÞq.∴pÞq∴p是q的充分条件。例4：已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0…..①x2-4mx+4m2-4m-5=0……②其