矩阵论及其应用_黄有度习题3解答.pdf

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1、习题三1．证明下列问题：TT（1）若矩阵序列Am收敛于A，则Am收敛于A，Am收敛于A；TmmTm（2）若方阵级数cmA收敛，则cmAcm(A).m0m0m0证明：（1）设矩阵(m)A(a),m1,2,,mijnn则T(m)(m)A(a),A(a),m1,2,,mjinnmijnn设A(a),ijnn则TA(a)，A(a),jinnijnn若矩阵序列A收敛于A，即对任意的i,j1,2,,n，有m(m)limaa，ijijm则(m)(m)limaa，limaa，i,j1,2,,n，jijiij

2、ijmmTT故Am收敛于A，Am收敛于A.m(2)设方阵级数cmA的部分和序列为m0S,S,,S,，12mm其中SccAcA.m01mm若cmA收敛，设其和为S，即m0mcmAS，或limSmS，mm0则TTlimSS.mmTmTTmT而级数cm(A)的部分和即为Sm，故级数cm(A)收敛，且其和为S，m0m0即TmTmcmAcm(A).m0m0112.已知方阵序列Am收敛于A，且Am，A都存在，证明：11（1）limAmA；（2）limAmA.mm证明：设

3、矩阵(m)A(a),m1,2,,A(a),mijnnijnn若矩阵序列A收敛于A，即对任意的i,j1,2,,n，有m(m)limaa.ijijm(1)由于对任意的j,j,,j，有12n(m)limakjakj,k1,2,,n，mkk故lim(1)(j1j2jn)a(m)a(m)a(m)(1)(j1j2jn)aaam1j2jnjn＝1j12j2njn，j1j2jnj1j2jn而A(1)(j1j2jn)a(m)a(m)a(m)m1j2jnjn，j1j2jnA(1)(j1j2jn)aaa,1j12j2n

4、jnj1j2jn故limAA.mm(2)因为11(m)11A(A)，A(A).mijnnijnnAAm(m)其中Aij，Aij分别为矩阵Am与A的代数余子式.与（1）类似可证明对任意的i,j1,2,,n，有(m)limAA，ijijm结合limAA，mm有1(m)1lim(Aij)nn＝(Aij)nn，mAAm即11limAmA.m3.设函数矩阵sintcosttsintt2A(t)et，t310t2dddd其中t0，计算limA(t),A(t),A(t),A(t),A(t).2t0dtdtdtdt解：根

5、据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有limsintlimcostlimtt0t0t0010（1）limA(t)limsintlimetlimt2110；t0t0tt0t0lim1lim0limt3100t0t0t0(sint)(cost)tcostsint1dsintt2tcostsintt（2）A(t)()(e)(t)2e2t；dttt3210(t)003tsintcost02ddd2t（3）A(t)(A(t))(2t)sin

6、t2tcoste2；dt2dtdt006tsintcosttdsintt2（4）A(t)etdtt310tt23e[3tsintt(sintcost)t1]t(2costtsint)t(sin2tcos2t)costsint1dtcostsintt（5）A(t)＝e2t2dtt2003t2t3tecost3sint(tcostsint).4．设函数矩阵2xx2exexx2xA(x)e2e0，3x0021dx计算A(x)dx和A(t)dt.0dx0解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有

7、111e2xdxxexdxx2dx000111（1）A(x)dx＝exdx2e2xdx000013xdx000121(e1)123121ee10；300222e2xx2exx42dx2x22x2（2）A(t)dt＝2xA(x)＝e2e0.dx03x200TT5.设y(y1(t),y2(t),,yn(t)),A为n