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1、数形结合思想的重要性研究摘要数形结合思想是中学到高等数学解题中极其重要的解题方法，数形结合思想在数学问题的解决中起着关键作用。数形结合思想是提高学生分析问题、解决问题的能力，当然，在中学数学教学中数形结合思想的课程在整个教学任务中也是尤为重要，数形结合思想教学的目标就是让学生把握好数形结合思想并熟练运用，因此本文从数形结合的主要解题方法、常见的问题形式、易错常错题型以及如何培养学生的数形结合思想这四个方面阐述，不仅在理论上对中学范围内的数形结合思想进行分析学习，也为日后实践教学中的应用做准备。 关键词：数形结合，思想方法，常见形式，误区，思维方式。
2、 数形结合是初等数学乃至高等数学解题中常用的重要的思想方法，数形结合解题方法不仅能够能几何问题转换成数量关系的问题，还能将数量关系的问题用数形结合方法转换成直观的几何问题。数形结合方法可以使枯燥的数量关系显得更加直观，而且可以将复杂的数量关系问题用表示的更加简单，让数学问题更加通俗易懂。 在解决数学问题时，数形结合思想的解题方法的精髓在于使得抽象概念能够和具体几何图形相互转化，使得数与形的信息相互渗透，使许多数学问题简单化的作用。 因此本文中我主要从几何图形和函数图像两个方面举例说明，并且结合本人学习的经验和以往课堂上老师像我们展示的方法来阐述结合教
3、学实践的情况，举例说明数形结合思想在解决问题中的一些妙用，争取将数学自己学到的方法知识更好的应用到以后的教学工作中。 数形结合的主要途径 首先我们先思考下我国著名的数学家华罗庚曾经说过的一句至理名言——数缺形时少直观，形少数时难入微。为什么伟大的数学家有这种感慨和论断？解题时主要运用建立坐标系、以及转化构造数形结合等方法。在实现由几何到数量关系的转化时,常常使用坐标系、数轴或者是将问题直接转换为各类函数问题的方法来求解,将数量关系直接转化为几何问题时,一般要从问题的结构特征出发,将数量关系转化为图形的问题之后利用图形有关性质解题。 建立坐标系进行数形
4、结合 建立坐标系或复平面转换数形关系来解决问题用数形结合解函数有关问题 例1：求函数的最小值。 分析：这是一个较为复杂的代数类极值问题，直接解非常复杂并且过程繁琐。可以将解题思路向数形结合方向靠拢，可以注意到： 是平面直角坐标系中两点之间距离公式，就可以把代数问题转化为几何问题求解。 解：设点 则即表示平面上点到点的距离和。 通过转化构造出数形结合 引入适当的角，运用三角函数或解三角形的相关知识，把几何问题转化为数量关系 问题。 例3：求
5、函数的定义域。 分析:求三角函数定义域这个题型,我们常画三角函数线、利三角函数的图象以及数轴取交集来解决问题。 解：由题意得，解得。 作出的图像,如图,图象需满足, 由图象知函数的定义域为 利用函数图像解决求方程近似解或解的个数类问题。 通过构造函数的方法，数形结合将求方程解的问题转化为求两函数图像的交点问题。 例4：求方程的近似解。 分析：由方程两边的表达式，我们可以联想到指数函数与一次函数，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图像，由图像不难看出，这两个函数图像
6、交点的横坐标即为方程的近似解，方程的近似解为。 数形结合类题目常见的形式 求值域 例5：求函数的值域。 解：=如图所示， ,所以函数的值域为。 求取值范围 例6：已知关于的不等式的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数的取值范围是：____ 解析：本题利用数形结合的的方法，将不等式转化为，先求出过点）并且与函数相切的直线L，再通过函数与函数的图像直观分析，分和进行讨论满足集合A中恰有两个整数时实数的不同取值。 解：在同一平面直角坐标系中作出函数与函数的图像。如图。
7、 设直线L过点且与函数切于点。因为，所以， 解得或。 当时,切点为,若解集A中恰有两个整数,则只需要考虑点与点连线的斜率之间的关系,这里,,所以。 当时,切点为,若解集A中恰有两个整数,则只需要考虑与点连线的斜率之间的关系,这里,,所以a。 求最值 不等式组求最值。 例7:试判断三个数的大小。 分析：运用转化思想，把三个数的值转换为三个函数：,,。在时，所对应的函数值。在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以非常
