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时间：2020-03-31
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1、数学与信息科学系授课教师:近世代数§2.2群中元素的阶规定如果这样的 不存在，则称 的阶为无限（或称是零）。元素的阶常用 表示。定义１设 为群 的一个元素，使的最小正整数 ，叫做元素 的阶。的阶是例１在 次单位根群 中，的阶是的阶都是其余元素的阶均无限。的阶是例２在正有理数乘群 中，例３在非零有理数乘群 中，的阶是的阶是其余元素的阶均无限。群周期群无扭群混合群若 中除 外，其余元素的阶均无限。都有限。若群 中每个元素的阶既不是周期群又不是无扭群的群。定理１有限群中每个元素的阶均有限。证明：设 为 阶有限群，任取,则
2、 中必有相等的。设则从而 的阶有限。证明：设 ，并令则由于 ，故但故必从而反之，设 且令 ，因故定理２设群 中元素 的阶是 ，则例4证明：群中以下每组中的元素有相同的阶：定理３若群中元素 的阶是 ，则证明：设 且故有其次，设 ，则 。由定理２知但故因此，推论１在群中设 ，则 ，其中是正整数。推论２在群中设 ，则定理４若群中元素 ，则当且 时，证明：由于故设则但故又因故同理可得再根据故从而注１．定理中的条件 不能少。在有理数域上二阶线性群 中，２．定理中
3、的条件 不能少。但的阶无限。的阶分别为但与的阶都无限，的阶为小结元素的阶的定义元素的阶的性质群的分类布置作业P４４第１、5题谢谢！
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