协方差及相关系数及其性质.ppt

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1、一、基本概念二、n维正态变量的性质4.3协方差与相关系数对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间还有某种联系,问题是用一个怎样的数去反映这种联系.问题的提出协方差反映了随机变量X,Y之间的某种关系1.定义一.协方差和相关系数的定义若D(X)>0,D(Y)>0,称若称X,Y不相关.无量纲的量2.说明3.协方差的计算公式法1.若(X,Y)为离散型，已知pij若(X,Y)为连续型，已知f(x,y)法2.4.性质求cov(X,Y)XY10pqXP10pqYP例1已知X,Y的联合分布为XYpij1010p0

2、0q0

3、ρXY

4、≦1。意义

5、ρXY

6、=1当且仅当Y跟X几乎有线性关系。这说明了相关系数的概率意义。ρXY是刻画X，Y之间线性相关程度。(2)证：由柯西一许瓦兹不等式中等号成立（）充要条件知练习设(X,Y)~N(1,1;4,4;0.5),Z=X+Y,求XZ解写为矩阵的形式：称为随

7、机变量(X1,X2)的协方差矩阵。(1)．二维随机向量的协方差矩阵二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩(设他们存在)，分别记为三.协方差矩阵(2)推广定义设X=(X1,X2,…,Xn)为n维随机向量,并记μi=E(Xi)，则称μ=(μ1,μ2,…,μn)为向量X的数学期望或均值，称矩阵为向量X的协方差矩阵。例6:设(X,Y)N(µ1,µ2,σ12,σ22,),求向量(X，Y)＇的均值μ与协方差矩阵。解:E(X)=μ1，E(Y)=μ2，所以(X，Y)的均值为μ=(μ1,μ2)(X，Y)协方差矩阵为3.协方差矩阵的性质(1)协方差矩阵对角线上的元

8、素Cii为Xi的方差即Cii=D(Xi)i=1，2，…，n；(2)协方差矩阵C为对称矩阵,即Cij=Cji,i，j=1，2，…，n；(3)C为非负定矩阵,即对于任意实向量t=(t1，t2，…，tn),有tCt≥0；证：性质(1)，(2)显然，只证(3)4．多维正态分布及其性质二维正态随机向量X=(X1，X2)的概率密度为引入下面记号经运算可得于是X=(X1，X2)的概率密度可写成上式推广至n维正态分布的情况，于是有以下定义：(1)定义若n维随机向量X=(X1，…，Xn)的概率密度为其中X=(X1，…，Xn),μ=(μ1，μ2，…，μn)为n维实向量，

9、C为n阶正定对称矩阵，则称向量X=(X1，…，Xn)服从n维正态分布，记为X～N(µ,C).对于n维正态分布X～N(µ,C)，X的期望为µ，X的协方差矩阵为C。(2)性质（P179页）n维正态分布具有下述性质：1)n维随机向量(X1，…，Xn)服从n维正态分布充要条件是X1，…，Xn的任意线性组合l1X1+l2X2+…+lnXn(l1,l2,…,ln是不全为0的数)服从一维正态分布。2)若X=(X1,…,Xn)～N(µ,C)，设Y=(Y1,Y2,…,Ym)=AX,即Yi为Xj(j=1，2，…，n)的线性函数,i=1，2，…，m，则Y～N(Aµ，ACA)

10、，其中A为－m行n列且秩为m的矩阵。3)设(X1，…，Xn)服从n维正态分布，则“X1，…，Xn相互独立”与“X1，…，Xn两两不相关”是等价的。例7:设X～N（0，1），Y～N(0，1),若X与Y相互独立，求E(

11、X-Y

12、)。于是解:令Z=X-Y，问题化为求E(

13、Z

14、)，为求E(

15、Z

16、),我们先求出Z的概率密度.由于(X，Y)服从二维正态分布，由性质1)知Z服从一维正态分布，而E(Z)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0，D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=2，故Z～N（0，2），即Z的概率密度为例8:设,问X与Z是否独立?解:由于由性质2)知(X

17、，Z)服从二维正态分布，再由性质3)知判断X与Z是否独立等价于判断X与Z是否不相关。D(X)=32，D(Y)=42，ρXY=-1/2,于是ρXZ=0所以X与Z不相关，由此可得X与Z相互独立。小结：1.结论1：X与Y相互独立ρXY=0X与Y不相关；反之，ρXY=0不能推出X与Y相互独立。结论2：对任意X与Y，以下结论等价ρXY=0Cov(X，Y)=0E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)。结论3：若(X，Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，则X与Y相互独立ρXY=0X与Y不相关。2.由于正态分布在概率论中有其特殊地位

18、，因此对多维正态分布的