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1、第三章a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm矩阵的初等变换与线形方程组1§3.1、矩阵的初等变换1、矩阵的初等变换引例解方程组:增广矩阵2解方程的三种变换:1)互换两个方程的位置；2)用一个非零数乘某一个方程；3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去．3注：上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．对方程组施行的三种同解变换实质上是对方程组的系数进行运算.4【
2、定义2.7】下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:(1)对调两行(列)(对调i与j两行(例)记为)(3)把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素上去(第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为).注1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。2）矩阵的初等变换是可逆的，而且是同型的；逆变换逆变换逆变换(2)以数乘第i行(列)的所有元素(记为)5如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价，记做A~B。等价矩阵等价矩阵之间的性质如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,则称矩阵A与B列等价，记做
3、A~B。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记做A~B。6形如:的矩阵称为行阶梯矩阵.特点1）若矩阵有零行，那么零行全部位于非零行的下方；2）各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上到下严格递增。具有特点1）~3）的行阶梯矩阵称为行最简矩阵3）各个非零行左起的第一个非零元素为1，且其所在的列除此元素外，其余元素均为零。一个矩阵经过初等行变换可以化成行阶梯矩阵和行最简矩阵。7例1用初等变换化简矩阵矩阵A的标准型注:1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵；2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；3.
4、任一矩阵都可经初等变换化成标准型。行阶梯型行最简型注意！！8例2设解910例2设解与A有什么关系呢11若把矩阵(A，E)的行最简形记作(E，X)，则E应是A的行最简形，即；并可验证AX=E，即X=A-1.下节我们将证明，对任何方阵A，的充分必要条件是A可逆，且当A可逆时，EAr~EAr~12【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.如对三阶单位矩阵E施行三种初等变换得到的三种初等矩阵为：E23=E3(k)=E12(k)=初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei(k)、Eij(k),其中Eij:交换单位矩阵E的第i
5、，j行,得到的初等矩阵。Ei(k)：单位矩阵E的第i行的元素乘以数k,得到的初等矩阵。Eij(k)：单位矩阵E的第j行乘以数k加到第i行,得到的初等矩阵。对单位阵经一次初等行变换与经一次列变换，得到的初等矩阵相同吗？(列)(列)(第i列)(第j列)2、初等矩阵的概念131）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,即:2）初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：3）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.行变换：列变换：初等矩阵的性质：14如：
6、15A=P1P2…Pk.【证】充分性:设有初等阵P1，P2，…,Pk,使A=P1P2…Pk.即A=P1P2…Pk,【定理2】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，…,Pk，使因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所以A可逆。必要性使，因A可逆，所以F也可逆，由16【推论2】设A是可逆矩阵,则A可以只经过初等行变换化成单位矩阵E.【推论1】两个型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.注：矩阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵E等价.【
7、证推论2】因A可逆,所以A-1也可逆,由定理2存在初等阵P1,P2,…,Ps,使A-1=P1P2…Ps于是有A-1A=P1,P2,…,PsA=E17设A可逆，则存在有限个初等矩阵下面我们来证明前面留下的一个结论：求逆矩阵18例1设求A－1.解：r2－2r1r3－3r119r1－2r3r2－5r3r1+r2r3－r220例2设分析：2122列变换求逆矩阵23注意：求方阵的逆矩阵24小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换254.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换5.利用初等变
8、换求逆阵的步骤是:26作业27§3.2、矩阵的秩1.矩阵秩的概念则均是A的子阵.是A的两个二阶子式.【定义2.8】矩阵A中非零子式的最高阶数叫作矩阵A的秩.记为R(A).如果A是零矩阵,规定R(A)=0.将矩阵的某些行或某些列划去，余
