线性代数—相似矩阵.ppt

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1、相似矩阵第二节1一、相似矩阵的概念和性质定义对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得则称A与B相似,记为矩阵的“相似”关系具有以下特性：(1)反身性：(2)对称性：证(3)传递性：证2相似矩阵的性质：定理相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.证推论1相似矩阵的行列式相等；推论2相似矩阵的迹相等；推论3若矩阵A与一个对角阵相似,3注意:特征值相同的矩阵不一定相似.但它们不相似,因为对任意可逆阵P,即与E相似的矩阵只有它自己。相似矩阵的其它性质：相似矩阵的秩相等；若P,Q为可逆矩阵,则有4A,B同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆

2、矩阵及伴随矩阵也分别相似。只证(3)，其余证明留作练习.(1)(2)(3)(4)(5)(6)5例1解另解相似矩阵有相同的特征多项式，由得6计算上面两个行列式，得到比较等式两边同次幂的系数，得7n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。二、矩阵可相似对角化的条件定理如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。证必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,使8即即即得必要性得证。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。9推论1如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.因为属于不同特征值的特征向

3、量是线性无关的.注意:这个条件是充分的而不是必要的.如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量,A还是能对角化．即齐次线性方程组的基础解系所含的向量个数等于特征根的重数。10解例2设求可逆阵P，11特征向量特征向量12特征向量特征向量特征向量13令则14解例3判断矩阵能否对角化，若能，特征向量求可逆阵P，15特征向量可对角化,16解只有一个线性无关的特征向量,例4判断矩阵能否对角化，若能，所以不能对角化.求可逆阵P，17例5解得A的特征值为1819例6解20

4、从而A可相似对角化.秩为1，21从而A不可相似对角化.秩为2，22一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得则于是转化为对角阵求幂.23例7解设2425ENDEND26