Bayes决策及其应用.pdf

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1、北京石油化工学院学报第18卷第3期Vo1．18NO．3JournalofBeijingInstituteof2010年9月Sep．2010Petro—chemicalTechnologyBayes决策及其应用游煦苏欣王若鹏(北京石油化工学院数理系，北京102617)摘要为了利用Bayes决策理论对学生通过考试的概率进行预测，首先在理论上证明了Bayes决策函数是一种最优决策，给出了Bayes决策的错误概率以及回归函数的一条简单的性质。其次在预测学生通过考试的概率模型中，从影响学生成绩的每周电脑游戏时间数T、课外活动时间数E及一些无法量化的指标等

2、因素L出发，用Bayes决策构造出各种情形下的最优决策函数，以较小的错误概率对学生通过考试进行预测，这在实际教学管理过程中有一定的应用价值。关键词Bayes决策；回归函数；错误概率；成绩预测中图法分类号Ol78则1主要定理及其证明P{g(X)≠YIX—}一设(X，y)是一对取值于R×{0，1}上的P{g(X)≠yIX—z}一随机变量，对任给的X∈R，称条件概率(1一刁())(3gn{g()一1}一77(z)一P{y一1lX=x)=：=E{yIX—lz}为回归Sg{g*(z)一1})+函数。定义函数g(z)：R一{o，1}为一个决策叩(z)(Sg

3、n{g(z)一o}一函数，它的错误概率L(g)一P{g(X)≠Y}。Sgn{g(z)一0})一特别地，函数(1—2y(x))(Sgn{g()===1)一g()一』，叩(z>／(1)gn{g(z)一1})≥0(3)()≤1／2’式(3)两边同时在x的边缘分布上积分可得式称为Bayes决策函数，它具有以下性质：(2)，即定理1对任意的决策函数g(z)：R一L(g)≤L(g)。{0，1}，都有这说明Bayes决策是最优决策。P{g*(X)≠y}≤P{g(X)≠Y)(2)在定理1的证明过程中，可以得到即L(g)一E{(1—77(z))Sg{g(z)一1

4、)+L(g*)≤L(g)。，7()gn{g()===o))(4)证明任给X—z，特别地，对于Bayes决策就有定理2。P{g(X)≠YIX—z}一定理2L(g)一P{g(X)一1，Y一0lX—z}十E{(1一叩())S窖{g*(z)一1)+P{g(X)=0，Y一1IX=z}=叩(z)3gn{g(1z)=0)}=P{y一0lX—z}Sgn{g()一1}+E{(1-7(z))Sg{'7()≥}+P{Y一1IX—z}Sgn{g(z)一0}===(1一叩(z))Sgn{g(z)一l}+叩(z)Sg，<呀(z)Sgn{g(z)一o}，一T／(x)，T／(

5、x)}E』二翌±2二!二1收稿日期：2010—03—162第3期游煦等．Bayes决策及其应用591I一些不合理的地方。一E(I1—2(z)I)。，另外回归函数7／(x)可以最小化均方误差。3模型改进定理3在模型中，对于是否通过考试只考虑了学E{(rl(X)一y)}≤E{(g(X)一y))(5)习时间，事实上，影响成绩的因素很多也很复证明任给X—z，杂，甚至会有智力因素等无法量化的指标。为E{(g(X)一y)。IX—)一此，假设该生每周玩电脑游戏的时间为T，课E{(g(X)一r／(X)4-rl(X)一y)lX—z)一外活动时间为E，一些无法量化

6、的指标如懒惰(g(z)一7l(x))一2(g(z)一71(x))×和学习困难等记为L，并且假设这三者独立同E{Tt(X)一YlX—z}+分布于指数分布e一，EE0，+oo)，设成绩E{(卵(X)一y)IX===．37}一y一』，T+E+L<7(g(z)一7l(x))+E{(叩(X)一y)IX—}≥【0，T+E+L≥7E{(r／(X)一y)IX—z}(6)情形一：指标L是无法量化的，若已知T式(6)两边同时在X的边缘分布上积分可得式和E，此时通过考试的概率(5)，即r／(x)一P{Y一1IT，E}一P{T+E+L

7、g(X)一y)}。7lT，E)一P{L<7一T—ElT，E)一2模型检验max{o，一—e一dz)==ma：{o，_e-(7-T-E))，这时定义Bayes决策函数在考察某学生某课程考试是否通过时，用f1，71(x)>l／2，即T+Eo，该模型的Bayes决策函数就是L(g(T

8、，E)=y)一P{T+E<7一ln2，T+E≥7一L}+g*c一{：；’即-z>c7P{T+E≥7一ln2，T+E<7一L}一对应的错误概率是I船e一