高等数学A电子教案.ppt

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1、第四节一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十二章问题:3.展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数?两类问题:在收敛域内和函数求和展开其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:称为泰勒系数.一、泰勒(Taylor)级数的级数，称为f(x)的泰勒级数.形式为若函数的某邻域内具有任意阶导数,1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:定理1.各阶导数,则f(x

2、)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有如果函数f(x)能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称f(x)在该邻域内可以展开成泰勒级数.证证毕定理2证逐项求导任意次,得泰勒系数是唯一的,若f(x)能展开成的幂级数，则这种展开式是唯一的,且与它的泰勒级数相同.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.(1)f(x)展开成的幂级数，(2)f(x)展开成x的幂级数,1.直接展开法“f(x)展开成x的幂级数”步骤

3、：第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.如果为零，则函数f(x)在收敛区间内展开成x的幂级数为二、函数展开成幂级数例1.将函数展开成x的幂级数.解:故得级数其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足(在0与x之间)故如图，例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足缺少偶次幂的项，用比值审敛法求收敛半径.2.间接展开法例如根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐

4、项积分等方法，求展开式.所以谈不上它们在原点连续，更谈不上具有一切阶的导数，因而它们不能在原点周围展成幂级数.展成幂级数的问题比较复杂.例3解因为展开成x的幂级数.解:上式右端的幂级数在x＝1、-1收敛,x＝1、-1有定义且连续,所以展开式对x＝1、-1也是成立的,于是收敛域为例4.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,域为上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛例5.将函数利用此题可得展开成解:的幂级数.例6.将例7.将展成x－3的幂级数.解:例8.将展开成(x－1

5、)的幂级数.解:内容小结常用函数的幂级数展开式说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,上式就是代数学中的二项式定理.特别地：