微分中值定理与泰勒公式经典习题.pdf

《微分中值定理与泰勒公式经典习题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一.设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且,证明:在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.证明:由条件知00,F(1)<0,所以存在(0,1),使F()=0.假设存在1,2(0,1),不妨假设2<1,满足f(1)=1,f(2)=2.于是1－2=f(1)－f(2)=.(2<<1).所以,矛盾.二.设函数f(x)在[0,1]上连续,

2、(0,1)内可导,且.证明:在(0,1)内存在一个,使.证明:,其中1满足.由罗尔定理,存在,满足0<<1,且.2三．设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数,且f(1)=f(2)=0,又F(x)=(x－1)f(x),证明:在(1,2)内至少存在一个,使.证明:由于F(1)=F(2)=0,所以存在1,1<1<2,满足.所以.所以存在,满足1<<1,且.四.设f(x)在[0,x](x>0)上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,试证:在(0,x)内存在一个,使.证明:令F

3、(t)=f(t),G(t)=ln(1+t),在[0,x]上使用柯西定理,(0,x)所以,即五.设f(x)在[a,b]上可导,且ab>0,试证:存在一个(a,b),使证明:不妨假设a>0,b>0.令.在[a,b]上使用拉格朗日定理六.设函数f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:存在一个(a,b),使证明:令,则F(a)=F(b)=0,所以存在一个(a,b),使七.设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证:至少存在一个

4、(0,1),使证明:(,二边积分可得,所以)令.由f(0)=f(1)=0知存在(0,1),.所以F()=F(1)=0,所以存在(,1),.立即可得八.设f(x)在[x1,x2]上二阶可导,且00,证明:存在一个(x1,x2)或(x2,x1),使证明:不妨假设0

5、少存在一个,满足立即可得.十.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)0,试证:至少存在一个(a,b),使证明:令,所以F(a)=F(b)=0.由罗尔定理至少存在一个(a,b),使,于是.十一.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶连续导数,试证:至少存在一个(a,b),使证明:x,t[a,b],有取t=,分别取x=b,x=a,得到二式相加,得所以存在(a,b),使得十二.设f(x)在[a,b]上连续,在(

6、a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在、(a,b),使得证明:对于在[a,b]上使用拉格朗日定理,在(a,b)内存在,使得所以在(a,b)内存在,使得即是