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《元函数的概念、极限与连续性.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、推广第八章一元函数微分学多元函数微分学PS:善于类比,区别异同多元函数微分学1一、平面点集二、二元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性第一节多元函数的基本概念2一、平面点集点P与数之间的关系。在一维空间中，与有序实数组就建立了一一对应的关系。在二维空间中对应的点之间3的全体构成了坐标平面；记为：若平面点的集合E由具有某种性质的点的全体组成，记为：如：4邻域：点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为基本概念：5例如
2、，在平面上开区域闭区域6二、二元函数的概念引例:圆柱体的体积三角形面积的海伦公式7定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数则称u为定义在D上的n元函数,记作若对D内的任意一点P,变量u按照一定的法则总有唯一确定的值与它对应，8函数表示对应法则，此法则也可用其他字母来表示，函数也可记成设点是定义域内的一点，有唯一确定的值与它对应。这个值就称为二元函数在点处的函数值，记作：用点函数表示：在点处的函数值：9若函数在点处对应有函数值存
3、在，则称此函数在点处是有定义的，否则称此函数在点处无定义。例1：求的定义域，并作其图形。解：由反三角函数的定义知：其点集介于直线之间10例如,二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.11二元函数z=f(x,y),(x,y)D为空间曲面.说明的图形一般为121314三、二元函数的极限定义2.设二元函数点,则称A为函数(也称为二重极限)若记二元函数的极限可写作：P0是D的内若存在常数A,对一切记作都有对任意正数,总存在正数,15例1.设求证：证:故16或例2例317例4求解:此函数定义域不包括x,y
4、轴则原式＝18求极限解其中例519函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定以不同方式趋于函数极限不存在.注(1)二元函数求极限中，点必须是以任何方式都有若当点(2)有关一元函数极限的运算法则和定理,以及无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数.20例6.讨论函数在点(0,0)的极限.解:此函数必有1.当点2.当点21设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.22四、二元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上
5、如果否则称此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,二元函数在点P0处连续性的表达方法:2.全增量为不连续,23例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周242526和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称多一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算元初等函数多元初等函数27定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函
6、数类似的如下性质:28作业P2301奇数4(1,3,6,8,10)29
