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1、Hilbert矩阵的病态性向量范数与矩阵范数矩阵的条件数定位问题的条件数《数值分析》7引例.Hilbert矩阵的病态性方程组Ax=b1的解为x1方程组Ax=b的解为xx–x1=[-2.427.0-64.842.0]T2/18数据计算结果A=hilb(4);b=[1;2;1.41;2];b1=b;b1(3)=b1(3)+.01;x=Ab;x1=Ab1;error=x-x1;formatshorte[x,x1,error]ans=-1.6560e+002-1.6320e+002-2.4000e+0001.833
2、0e+0031.8060e+0032.7000e+001-4.4232e+003-4.3584e+003-6.4800e+0012.8980e+0032.8560e+0034.2000e+001数值试验程序3/18定义3.1设Rn是n维向量空间,如果对任意x∈Rn,都有一个实数与之对应,且满足如下三个条件:(1)正定性:
3、
4、x
5、
6、≥0,且
7、
8、x
9、
10、=0<=>x=0;(2)齐次性:λ为任意实数(3)三角不等式:(y∈Rn)则称
11、
12、x
13、
14、为向量x的范数.注:向量范数是向量长度概念的推广.例如是向量x的范数4/18常
15、用的范数:例1.证明
16、
17、x
18、
19、2是Rn上的一种范数先证明柯西不等式:
20、xTy
21、≤
22、
23、x
24、
25、2·
26、
27、y
28、
29、2对任意实数λ,有(x-λy)T(x-λy)≥0xTx–2λxTy+λ2yTy≥0
30、xTy
31、2–(xTx)(yTy)≤0
32、xTy
33、≤
34、
35、x
36、
37、2·
38、
39、y
40、
41、2判别式5/18(三角不等式成立)(正定性成立)(齐次性成立)6/18例2.范数意义下的单位向量:X=[x1,x2]T1-11
42、
43、X
44、
45、1=111-1-1
46、
47、X
48、
49、2=1-111-1-1
50、
51、X
52、
53、∞=17/18例3.设x=(x1,x2,····,xn)
54、T,证明证明:所以思考:8/18定义3.2对A∈Rn×n,存在实数
55、
56、A
57、
58、满足:则称
59、
60、A
61、
62、是矩阵A的一个范数.(1)正定性:
63、
64、A
65、
66、≥0,且
67、
68、A
69、
70、=0A=0;(2)齐次性:λ为任意实数(3)三角不等式:(B∈Rn×n)(4)相容性:Frobenius范数9/18矩阵算子范数的概念设
71、
72、x
73、
74、是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非负函数称为矩阵A的算子范数注1:矩阵的算子范数由向量范数所导出,如注2:算子范数满足相容性其中,A∈Rn×n,x∈Rn10/18“1-范数”(列和范数)无穷大范数(行和
75、范数)例,X=[-35]T,求A、X的“1-范数”,“2-范数”和“无穷大范数”11/181=26.1803,2=3.819712/18矩阵的条件数概念方程组Ax=b,右端项b有一扰动引起方程组解x的扰动设x是方程组Ax=b的解,则有化简,得由Ax=b得所以13/18定义条件数:Cond(A)=
76、
77、A–1
78、
79、·
80、
81、A
82、
83、或C(A)=
84、
85、A–1
86、
87、·
88、
89、A
90、
91、当条件数很大时,方程组Ax=b是病态问题;当条件数较小时,方程组Ax=b是良态问题注:14/18类似,设方程组Ax=b,矩阵A有一扰动时,将引起方程组解
92、x的扰动设x是方程组Ax=b的解,则有化简,得取范数15/18阶数456条件数119.4×1052.9×1079.8×108条件数21.5×1044.7×1051.4×107条件数∞9.4×1052.9×1079.8×108Afamousexampleofabadlyconditionedmatrix16/18定位问题的条件数
93、A
94、=(x2–x1)(y3–y1)–(x3–x1)(y2–y1)17/18Cond(A)=
95、
96、A–1
97、
98、·
99、
100、A
101、
102、与
103、det(A)
104、成反比18/18
