研究生数值分析(6)割线法.ppt

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1、牛顿迭代法的收敛速度快，但是每一次迭代，除需计算的值外，还要计算的值。如果比较复杂，计算的工作量就可能很大，尤其当7割线法很小时，会产生很大的舍入误差。为避免计算导数值，我们用插商来代替导数。设经过k次迭代后，欲求。两点的差商用f(x)在来代替牛顿迭代公式中的导数，得到如下迭代公式：称为割线法，又称弦割法。计算时可用的接近程度控制迭代终止，也可用结束迭代，η是允许误差。公式的几何意义是：引一直线，则该直线与x轴交点的横坐标为因此迭代公式可看成割线与x轴交点的横坐标作为的新的近似值，设已知方程经过点和故迭代公式又称为弦割法。不如牛顿法，且需提供两

2、个较好的初始近似根。弦割法的优点是避免了求导数。不足是收敛速度割线法收敛性见p81-83。（如图）例8用弦割法求方程解：取初始近似根，割线公式为在区间[1，1.5]内的一个根,误差不超过。计算结果列于下表kxkf(xk)012345611.51.2666671.3159621.3252141.3247141.324718-10.875-0.234369-0.03703690.00211642-0.0000168760.000000182因为所求近似根为8单点割线法在割线法中用固定点(x0,f(x0))代替就得到新的迭代公式称为单点割线法。单点割

3、线法的收敛定理定理9设函数f(x)在区间[a，b]上存在二阶连续导数，且满足条件：则单点割线法产生的序列单调收敛于方程F(x)=0在[a,b]内唯一的根s,并且收敛速度是一阶的。证明见书p84-85例9用单点割线法求方程在区间(2，∞)内的根，要求解：设满足所以，选由单点割线法产生的序列必收敛于方程在[2，4]内的根s。迭代结果见下表kxkf(xk)0123456784.0000000002.0000000003.0607884393.1417387813.1459659363.1461816373.1461926303.1461931913.

4、1461932190.613705638-0.693147180-0.057884103-0.003037617-0.000155040-0.000007902-0.000000402-0.000000020-0.000000001已满足精度要求，故方程的根为练习：分别用双点弦割法和单点弦割法迭代5次在x=1.5附近的根，比较计算精度。求解方程