线性代数课件3-2向量组的线性相关性.ppt

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1、第二节向量组的线性相关性一向量的线性表示、线性组合二线性相关性的概念三线性相关性的判定四线性相关性的性质例如一、向量的线性表示、向量的线性组合对于一般的齐次线性方程组则方程组可表示成若记未知量为线性方程组是否有解归结为上式是否有解。即就是矩阵的列向量加权和等于零.定义１或称向量可以由向量线性表出。使如果存在一组常数的线性组合.则称向量是向量组维向量设个是例1例2都可由该向量组线性表示，即.一向量组中的每一个向量例3任意一个维向量都可以由向量组线性表出.显然，有.向量组称为维单位坐标向量组.如果能，如何求表出系数呢？线性表出呢？

2、线性表出，即事实上，向量能由向量组维向量组线性表出呢？线性表出呢？如何判断维向量可否由定理1向量可以由向量组线性表示的充分必要条件是线性方程组有解，且一个解就是一个组合系数.方程组有解，亦即线性方程组有解.定理1向量可以由向量组线性表示的充分必要条件是线性方程组有解，且一个解就是一个组合系数.有解，亦即线性方程组有解.线性表出？若能，写出它的一种表示方式.例4判断向量可否由向量解考虑以为系数列向量，为常数项列向量的线性方程组考虑以为系数列向量，为常数项列向量的线性方程组对方程组的增广阵施行初等行变换继续做行初等变换化为简化阶梯

3、形解向量可写成故所以，向量可由向量组线性表出.例5减肥配方问题设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表3.1.1，表中还给出了20世纪80年代美国流行的简洁营养配方.如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少，才能全面准确地实现这个营养要求？营养成分每100g食物所含营养（g）减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶大豆粉乳清蛋白质36511333碳水化合物52344545脂肪071.13表格设脱脂牛奶、大豆粉和乳清用量分别为个单位（100g）三种食物所含营养的列向量分别为每日所需营养量的列向量为由题

4、意三种食物每日所需量的多少恰好为向量由向量组和线性表示的系数，所以，即三种食物每日所需量的多少恰好为向量由向量组和线性表示的系数，所以，用Matlab求解有由此可知每日所需三种食物的量分别为脱脂牛奶27.72克，大豆粉39.19克，乳清23.32克.二、线性相关性的概念我们将这种关系推广到n维向量之间.定义5如果存在不全为零的数使则称向量组线性相关，否则称它线性无关．设n维向量组注意2.向量组的线性相关和线性无关是一对相互对立的概念，解例6分析.,,,,,,,,321133322211321线性无关试证线性无关已知向量组bbb

5、bbbaaaaaaaaa+=+=+=例7证证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表出.即有三、线性相关性的判定定理1维向量组（）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表出．设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表出.故故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数　　　　　　使因这个数不全为0，因中至少有一个不为0，证毕.因中至少有一个不为0，不妨设　　　则有即能由其余向量线性表出.一般地，判断线性相关的方法Ax=0的一组非零解.两个推论推论1.个维向量线性相关充要条件是，或其中。推论2当时，任何

6、个维向量所组成的向量组必线性相关。推论1.个维向量线性相关充要条件是，或其中。例8解（1）法1构造矩阵，利用初等行变换把它化为行阶梯形矩阵，有解（1）法1构造矩阵，利用初等行变换把它化为行阶梯形矩阵，有因为，所以向量组线性相关.若要找出一组不全为零的数，使得可解齐次线性方程组的同解方程令则得所以所以所以所以（2）构造矩阵并施行行初等变换有（2）构造矩阵并施行行初等变换有因为=未知量的个数，所以方程组只有零解，故向量组线性无关.向量组线性相关的性质性质1向量组线性无关，而向量组，线性相关，则可以由线性表出，且表示法惟一.

7、证因为，线性相关，则存在不全为零的数使得证因为，线性相关，则存在不全为零的数使得性质1向量组线性无关，而向量组，线性相关，则可以由线性表出，且表示法惟一.因此，故若则不全为零线性相关矛盾，因此，故这与这与线性无关矛盾，这与即所以故可由唯一线性表出性质2若向量组的一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关;也就是说，线性无关的向量组的任何部分向量组必线性无关.即可由线性表示.即可由线性表示.即可由线性表示.设有两种表示式，两式相减得线性无关因为因为系数不全为零，所以，向量组线性相关.因为系数不全为零，所以，向量组线性相关.证不失一

8、般性，设向量组则存在不全为零的数使得证不失一般性，设向量组则存在不全为零的数中部分向量组线性相关，性质3含有零向量的向量组一定线性相关.性质4如果个维向量线性无关，那么在每一个向量上添加个分量后所得的个维向量,也线性无关.性质4如果个维向量线性无关，那么在每一个向量上添加个分