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《高考数学复习点拨 综述圆方程的寻求方法（精品）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、综述圆方程的寻求方法一、“标准方程”法利用圆的圆心和半径这些儿何特征，采用标准方程^：(x-6Z)2+(y-Z7)2=r2,进行求解圆方程的方法。例］过点A(1,—1),B(—1,1),且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是()A、(兀_3尸+0+1)2=4B、(x+3)2+(y-l)2=4C、(x-l)2+(y-l)2=4D、(x+l)2+(y+l)2=4【解】由于圆心在直线x+y—2二0上，故可设圆心坐标为：(a,2—&),半径为：r,圆方程为：(x-a)2+(y-2+a)2=r2,根据圆过点A(l,-1),B
2、(-1,=(°_1)2+(2-a+l)2o1)得：°解得a二1,厂=4。F=(d+l)2+(2_d_l)2故所求圆的方程为：(兀-1)2+0-1)2=4,选C。例2求经过点A(-2,4),且与直线1：x+3y—26二0相切于点B(8,6)的圆的方程。【解】设圆的方程为：(x-a)2+(y-/?)2=r2,由
3、CA
4、=
5、CB
6、,CB±1,得a=-,2b=-~,r=厚。圆方程为：(x—U)2+(y+°)2=些。2V22•22例3已知圆满足：①截y轴所得得弦长为2,②被x轴分成两段圆弧，其弧长Z比为％1,在满足①②的所有圆
7、屮，求圆心到直线x—2y二0的距离最小的圆的方程。【解】法1:设圆的方程为：(兀-a)'+(y-防=尸，圆心P(a,b)到x、y轴的距离分别是
8、b
9、
10、、
11、a
12、o由题设知圆卩截x轴所得的劣弧所对圆心角为90°,故圆卩截x轴所得的弦长为血广，所以r2=2/r,圆P截y轴所得的弦长为2,所以r2=a2+,从而,2—；又因为P(a,b)到直线］:「2冋的距离耐詈’所以5d2=a-2b2=a2+4b2-4ab>a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b由r2=2b2时等号成立，此吋％卑,这吋有［；了
13、2严或52Zr_a_=lb=ih=-得:厂2=2,故所求圆的方程为：(无一1)2+()，-1)2=2或d+l)2+(y+l)2=2。【点评】利用圆的儿何性质找出8、b、T的关系是关键，求距离的最小值要选择适当的方法二、“一般方程”法利用圆的一般方程，将所求圆设成一般形式方程：x2+/+av+Ey+F=O,根据题屮的己知条件进行求解圆方程的方法。例4(同例2题H)【解】设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=O,则CB丄1,A(-2,4),82+62+8D+6E+F=0---6]B(8,6)在圆上，所以的方
14、程组:—2-——(--)=-1DJ3丿O2(-2)2+(—4)2+(-2)0+(一4疋+F=0解得D=-ll；E=3；F=-30o2D+4H20整理得：」6D+6E-F=-100,3D-E=-36故所求圆的方程为：x2+y2-llx+3y-30=0o【点评】分析方程屮各个字母的含义，是应用好防城的关键。三、“圆系”法利用过两圆交点的圆方程，采用巧设方程，不求坐标的方法，简化运算。过两圆交点的圆系方程为：(x2+y2+Dlx+Ely-i-Fl)-i-A(x2+y2+D2x-i-E2y+F2)=Oo例5已知两圆的方程G：
15、x2+y2=4；C2:/+)，-2x-4y+4=0。直线1：x+2y二0,求经过圆C「C?的交点且和直线1相切的圆的方程。【解】设所求圆的方程为：X2+y2-2x-4y+A(x2+y2-4)=0(kH—l),整理得“+八在-令y+罟=0,圆心为(占詁圆心到直线的距离d等于半径得:"丐包I#寿+庶7•普得：k=l,故所求圆的方程为：x2+y2-x-2y=0o例6求过直线2x+y+4=0和圆++才+2x-4y+l=0的交点，且而积最小的圆的方稈・。【解】设过直线2x+y+4二0和圆兀2+尸+2—4)，+1=0交点的圆方程
16、为：jux~+y~+2x—4y+1+A(2x+y+4)=0,则(兀+兄+1)~+(y)~=——42+4。要使圆的而积最小，必须半径r最小，r=J-r-4A+4=ij5(2--)2+-V42V55丄尸=还，当且仅当兄吋r最小。2V555所求圆的方程为:(x+-)2+(}-^)2=-o5•55四、“对称”法根据两圆成屮心对称或成轴对称的特征求圆的方程。例7已知圆C：x2+y2+4x-12y+39=0和直线1：3x-4y+5=0,求圆C关于直线1对称的圆的方程。【解】因为圆C的圆心为(一2,6),半径为1,易求得点(一2,
17、6)关于直线1：3x—4y+5二0,的对称点为:(4,一2),而对称圆的半径相同,故所求圆的方程为:(x-4)2+(y+2)2=lo五、“直径”法若A(xt,y,),B(x2,y2),直径为AB的圆方程是(x-xl)(x-x2)+(y-yl)(y-y2)=0,通常利用此方程进行求解吋通常称为“直径”法。例8(同例6)求过直线2x+y+4二0和圆
