2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习新人教A版.docx

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1、2.2.2反证法基础练习1．(2017年江西宜春月考)已知a，b，c是互不相等的非零实数，若用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋c＝0至少有一个方程有两个相异实根，反证假设应为(　　)A．三个方程中至多有一个方程有两个相异实根B．三个方程都有两个相异实根C．三个方程都没有两个相异实根D．三个方程都没有实根【答案】C2．(2017年安徽蚌埠期末)用反证法证明命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a，b全为0”，其反设正确的是(　　)A．a，b至少有一个为0B．a，b至少有一个不为0C．a，b都为0D．a，

2、b中只有一个为0【答案】B3．设a，b，c∈(0，＋∞)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】首先若P，Q，R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负．不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈(0，＋∞)矛盾．故P，Q，R都大于0.4．a＋b>c＋d的必要不充分条件是(　　)A．a>c　　　B．b>dC．a>c且b>d　　

3、　D．a>c或b>d【答案】D【解析】A，B既不充分也不必要；C是充分不必要；D是必要不充分条件．可用反证法证明如下：若a>c或b>d不成立，则a≤c且b≤d.两式相加，a＋b≤c＋d，与a＋b>c＋d矛盾，故条件是必要的．又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8，知条件是不充分的．5．(2017年安徽黄山期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至多有一个偶数”正确的反设应为______________________．【答案】a，b，c中至少有两个偶数6．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么

4、a，b，c中至少有一个是偶数”正确的假设为___________．【答案】a，b，c都不是偶数7．求证：1，，2不能为同一等差数列的三项．证明：假设1，，2为同一等差数列的三项．可设该等差数列的首项为a，公差为d，其中1，，2分别是等差数列的第m，n，k项，则1＝a＋(m－1)d，＝a＋(n－1)d，2＝a＋(k－1)d，∴－1＝(n－m)d，1＝(k－m)d，两式相除得－1＝.又n，k，m∈N＋，∴是有理数．又－1是无理数，显然等式不成立，∴假设不成立．∴1，，2不能为同一等差数列的三项．8．已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：(1)f(1)＋f(3

5、)－2f(2)＝2；(2)

6、f(1)

7、，

8、f(2)

9、，

10、f(3)

11、中至少有一个不小于.证明：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝1＋p＋q＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设

12、f(1)

13、，

14、f(2)

15、，

16、f(3)

17、都小于，则

18、f(1)

19、＋2

20、f(2)

21、＋

22、f(3)

23、<2.而

24、f(1)

25、＋2

26、f(2)

27、＋

28、f(3)

29、≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，出现矛盾．∴

30、f(1)

31、，

32、f(2)

33、，

34、f(3)

35、中至少有一个不小于.能力提升9．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角

36、形，那么这个三角形的形状是(　　)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】B【解析】分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π．若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角，而∠ADC＞∠BAD，∠ADC＞∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知矛盾，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意．10．(2019年贵州贵阳校级模拟)已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a＞b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有()

37、A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.11．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．【答案】201【解析】假设①正确，②③不正确，则a≠2，b≠2，c＝0，不合题意，所以①不正确，即a＝2.所以②b＝2必不正确，③c≠0正确．所以b＝0，c＝1.所以100a＋10b＋c＝200＋0＋1＝2

38、01.12．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的