常系数非齐次微分方程的求解.pdf

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1、xypyqyeP(x)m2先求ypyqy0的通解Y。其特征方程为rprq0。求出特征根，（1）若rr，则YCer1xCer2x；1212（2）若rr，则Y(CCx)er1x；12122p4qpx（3）若ri（其中-,），Ye(CcosxCsinx)1,21222x*kx其次，求ypyqyeP(x)的特解yxR(x)emm2*x（1）若不是特征方程rprq0的根，则yR(x)e；m2*x（2）若为特征方程rp

2、rq0的单根，则yxR(x)e；m2*2x（3）若为特征方程rprq0的重根，则yxR(x)e。mxypyqye[P(x)cosxQ(x)sinx]ln先求先求ypyqy0的通解Y，同上。x其次，求ypyqye[P(x)cosxQ(x)sinx]的特解。ln1i-i1i-i由欧拉方程，知cos(ee），sin(e-e），可得22ixi-xixi-xixxeee-ePlQn(i)xPlQn(i)

3、xe[PlcosxQnsinx]e[PlQn]ee2222i22iPlQn(i)xPlQn(i)x(i)x(i)xieieP(x)eP(x)e，（其中P(x)和P(x)是共轭的m2222次多项式），其中mmaxl,n(i)x(i)x于是，分成求ypyqyP(x)e和ypyqyP(x)e的特解(i)x*k(i)x对于ypyqyP(x)e，可知特解形式为yxR

4、(x)e，若i不是特1m征方程的根，则k=0;若是特征方程的单根，则k=1。(i)x(i)x**k(i)x由于P(x)e和P(x)e共轭，故与y共轭的yxR(x)e必然是12m(i)xypyqyP(x)e的特解。x故ypyqye[P(x)cosxQ(x)sinx]的特解是ln*k(i)xk(i)xkxyxR(x)exR(x)exeRcosxisinxRcosxisinxmmmm由于括号内式共轭的，相加后即

5、无虚部，所以可以写成实函数的形式*kx(1)(2)yxeRm(x)cosxRm(x)sinx综上，得出结论：xypyqye[P(x)cosxQ(x)sinx]的特解可设为ln*kx(1)(2)yxeRm(x)cosxRm(x)sinx(1)(2)其中R(x)和R(x)式m次多项式，其中mmaxl,n，而i（或-i）不是特mm征方程的根时k=0；i（或-i）是特征方程的根时k=1。