同济版高数下册第八至十二章复习要点.pdf

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1、高等数学（下）期末总复习第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示


a=aiajakx+y+z=(,aaaxy,z)向量有大小、有方向.记作a或ABa=prjaa,=prjaa,=prjaxxyyzz222模向量a的模记作aa=a+a+axyz和差c=+ab={ax±bax,y±bay,z±bz}c=+abc=ab－a(,aaaxy,z)单位向量a≠0，则ea=ea=a222a+a+axyzaaaxyzcosα=，cosβ=，cosγ=设a与xyz,,轴的夹角分别为α，β

2、，γ，则方向余弦分别为aaa方向余弦cosα，cos，βcosγe=(cosα，cos，βcos)γa222cosα+cosβ+cosγ=1点乘（数量a⋅b=abcosθ，θ为向量a与b的夹角a⋅b=axbx+ayby+azbz积）叉乘（向量c=absinθijk积）θ为向量a与b的夹角a×b=axayazc=a×b向量c与a，b都垂直bbbxyz定理与公式垂直a⊥b⇔⋅=ab0a⊥b⇔abxx+abyy+abzz=0aaaxyz平行ab//⇔×=ab0ab//⇔==bbbxyzab+ab+abxxyyzza⋅bcos

3、θ=交角余弦两向量夹角余弦cosθ=a2+a2+a2⋅b2+b2+b2abxyzxyz∧ab⋅abxx+abyy+abzz投影向量a在非零向量b上的投影prjab=acos(ab)=prjab=222bb+b+bxyz平面直线法向量n={,,}ABC点M(x,y,z)方向向量T={,,}mnp点M(x,y,z)00000000方程名方程名称方程形式及特征方程形式及特征称A1x+B1y+C1z+D1=0一般式Ax+By+Cz+D=0一般式A2x+B2y+C2z+D2=0-2-高等数学（下）期末总复习x−xy−yz−

4、z000点法式A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0点向式==mnpx−x1y−y1z−z1x=x0+mt三点式x2−x1y2−y1z2−z1=0参数式y=y0+ntx3−x1y3−y1z3−z1z=z0+ptxyzx−x0y−y0z−z0截距式++=1两点式==abcx1−x0y1−y0z1−z0线线垂面面垂直A1A2+B1B2+C1C2=0m1m2+n1n2+p1p2=0直A1B1C1线线平m1n1p1面面平行====ABC行mnp222222ABC线面平线面垂直==Am+Bn+Cp=0mnp

5、行面面距离点面距离AxByCz+++D=01M(x,y,z)Ax+By+Cz+D=00000AxByCz+++D=02Ax0+By0+Cz0+DD1−D2d=d=222222A+B+CA+B+C面面夹角线线夹角线面夹角n1={A1,B1,C1}n2={A2,B2,C2}s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}s={m,n,p}n={A,B,C}

6、AA+BB+CC

7、mm+nn+ppAm+Bn+Cp121212121212cosθ=cosϕ=sinϕ=222222222222A2+B2+C2⋅m2+n2+p

8、2A+B+C⋅A+B+Cm+n+p⋅m+n+p111222111222空间曲线Γ：x=ϕ()t，切向量x−x0=y−y0=z−z0切线方程：ϕ′(t)ψ′(t)ω′(t)y=ψ()t，T=(ϕ′(t0,)ψ′(t0,)ω′(t0))000z=ω()t，法平面方程：(α≤t≤β)ϕ′(t()x−x)+ψ′(t()y−y)+ω′(t)(z−z)=0000000y=ϕ()x切向量切线方程：x−x0y−y0z−z0==1ϕ′(x)ψ′(x)z=ψ()xT=,1(ϕ′(x,)ψ′(x))00法平面方程：(x−

9、x)+ϕ′(x()y−y)+ψ′(x)(z−z)=000000空间曲面F(x,y,z)=0法向量切平“面”方程：Σ：n=(Fxyz(,,),Fx(,y,z)(x−x)+Fx(,y,z)(y−y)x000x0000x0000Fxyzy(,00,0),Fxyzz(,00,0))+Fxx(0,y0,z0)(z−z0)=0法线方程：x−xy−yz−z000==F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x000y000z000-3-高等数学（下）期末总复习z=f(x,y)n=(−fx(x0,y0),切平面方程：−fy(

10、x0,y0),1)f(x,y)(x−x)+f(x,y)(y−y)−(z−z)=0x000y0000或法线方程：n=(fxy(,),x00x−xy−yz−z000==fxyy(,00),1)−fx(x0,y0)fy(x0,y0)−1旋转曲面、柱面方程，空间曲线在坐标面上的投影，利用平面束方程求空间直线及平面方程…第九章多元函数微分