广义正定矩阵的相关性质及其判定-论文.pdf

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1、第36卷第3期通化师范学院学报(自然科学)Vo1．36№32015年6月JOURNALOFTONGHUANORMALUNIVERSITYJun．2015DOI：10．13877／j．cnki．cn22—1284．2015．06．009广义正定矩阵的相关性质及其判定0朱萍萍，李双东，韩钰(安徽大学江淮学院，安徽合肥230039)二次型与对称矩阵一一对应，判断二次型的正定义1设A∈尺，如果VX=(，，⋯，定性即判断方阵的正定性，且任意一个二次型所对)∈尺，且X≠0都有>0，则称A为实正应的矩阵不仅可以表示成对称矩阵，还可以表示成定矩阵，记A∈P．，若X0，则称A为实

2、半正定其他形式的矩阵．例如，二次型矩阵。l，，3)=定义2设AER，如果VX=(l，2，⋯，5++5；+4x12—8x13—4x23(1))ER，且X≠0，都存在实对称正定矩阵．s，使得52一XSAX>0，则称A为实正定矩阵，记A∈P，若所对应的对称矩阵为2l一2，而(1，2，0，则称为实半正定矩阵．一一25以上两种定义的矩阵统称为广义正定矩阵及广520义半正定矩阵。若A可逆，则A=AQ，A为正实对角21—2(，，，)展开所得的多项阵，Q为正交阵，则戈以Qx>0，由定义2知矩阵Q广—8—25义正定。⋯a1n式与(1)相同．显然，A=：●，口ai(i性质1若矩阵A

3、∈P2，则A∈P2，A～∈P2，．A苣P2，KA∈P2(K>0)．⋯0nnbll⋯证明(1)A∈P2VX≠0，X∈R，有a=b“≠)与B=SAX>O~XrASX>0．取A=AS～S，则可得’b+=aij(i≠)b1⋯s(s)SX>0，令y=，有SAY>0A芒P．表示同一二次型，符合条件的矩阵有rt个，显然V=(1，2⋯，)∈R，rA=XBX，本文主(2)A∈P2jVX≠0，X∈R。，有XSAX>要围绕具有此特点的矩阵的一般方阵的正定性展OAIsI1(X)>0，取A～=S-1SA一，则可得开研究．．s_1鼢-1SI1(X)>0，令l，=(．s)_。，有1广义正定矩

4、阵的概念及其相关性质Y>OA_。∈P．．收稿日期：2014—12—2O基金项目：安徽省质量工程项目(2013jyxm525)作者简介：朱萍萍，女，安徽芜湖人，教师．·26·(3)A=IAlA一，由(2)得A∈P，显然，KA52—∈P2．(1，x2，3)，且21—2为正定对称矩阵，性质2若矩阵A，B∈P2，t>0，则A+tBEP2．一d—25证明A∈PVX≠0，X∈R，存在可逆所以该二次型正定，则A广义正定，A∈P．对称矩阵Jsl，使得51A>0．B∈P2VX≠0，X2．2A广义正定(A∈P)的充分必要条件是A=∈R，存在可逆对称矩阵s2，使得S：tBX>0，显A

5、_一T为对称正定矩阵二然，5lA+S2tBX>0，因此，A+tB∈P2．证明必要性．A正定，则A也正定，显然性质3若矩阵A∈P，则存在对称正定矩阵B，使得+B对称且正定．对称正定．证明A∈P，VX≠0，X∈R，存在可逆对充分性．A：W+，W：A—+一AT称矩阵B，使得XBAX>0，，：ABX：(XBAX)>0≠0，X∈R，+XBAX+rABX>0，XrAX：Xr+，WI正定，：一，又由于(A+AB)=BA+，从而性质得证．(XrAX)=XrAX=XrW。X—XX，显然，，性质4若矩阵A∈P：，Q为正交阵，则QTAQX=0，因而，VX∈R，且X≠0，XrAX=∈P

6、2．+X>0，故A正定．证明A∈P2jVX≠0，X∈R“，存在对称2．3广义正定的充分必要条件是A=BC或A=正定矩阵s，使得XSAX>0，又由于SQ对称正CB，B为正定对称矩阵，C为正定矩阵定，所以X(QSQ)(QrAQ)X=(Qx)SA(QX)>证明必要性(1)A广义正定，A∈P，则VX0，故QAQ∈P．∈R，且X≠0，存在对称正定矩阵5，使得XSAX顺5若4∈P2测⋯l>0，令SA=Al，即AlX>0，A1∈P2，A=S-IAl，B=S一，C=A，从而得到A=BC．二{1．其中s为对称矩阵．(2)A∈P2，由性质I得A∈P：，贝0VXt∈R，且X≠0，存在

7、实对称正定矩阵Js，使得黝证明由于sA=_±善+二，>0，SA=A1，即XrAX>0，A1∈P1，A=S-1Alj1tSAII，’I+I'I【A=A1(S)，C=A1，=(S)A=CB；充分性(1)A=BC，C=B～A，C∈P，则j[_f+IVX∈R，且X≠0，XCX=XBA>0，因此，A广义正定。Il—S-1SA+2lI2I=(2)A=CB，A：BC，C=Pl，C：l±：14：I+l二：：I()A，则VX∈R，且X≠0，XCX=lZlIZlB>0,A广义正定．2广义正定矩阵的判定C：()一X>0：》4∈P，2．1矩阵A广义正定的充分必要条件是A对应舶由性质1得

8、A广义正定．二次型正．定