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1、第一章习题课一、向量的定义定义:n个有次序的数a1,a2,···,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.行向量;列向量.向量的相等;负向量;零向量.向量按照矩阵运算法则进行运算.向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算,满足下列八条运算规则:二、向量的线性运算(1)加法交换律:a+b=b+a;(2)加法结合律:(a+b)+g=a+(b+g);(3)对任一向量a,有a+O=a;(4)对任一向量a,存在负向量–a,有a+(–a)=O;(5)1a=a;(6)数
2、乘结合律:k(la)=(lk)a;(7)数乘对向量加法的分配律:k(a+b)=ka+kb;(8)数量加法对数乘的分配律:(k+l)a=ka+la;其中a,b,g为n维向量,1,k,l为数,O为零向量.除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:(1)0a=O;(2)若ka=O,则或者k=0,或者a=O;(3)向量方程:a+x=b,有唯一解x=a-b;其中a,b为n维向量,0为数零,k任意数,O为零向量.三、线性组合若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.定义:给定向量组A:1,2,···,m,对于任何一组实数k1,k2,···,km,
3、向量k11+k22+···+kmm称为向量组A:1,2,···,m一个线性组合,k1,k2,···,km称为这个线性组合的系数.给定向量组A:1,2,···,m和向量b,如果存在一组数1,2,···,m,使b=11+22+···+mm则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.定理1:向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1,2,···,m)与B=(1,2,···,m,b)的秩相等.定义:设有两向量组A:1,2,···,m与B:1,2,···,s.若B组中的每一个向量
4、都能由A组线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示;若向量组B与向量组A可以相互线性表示,则称这两个向量组等价.四、线性相关性定义:给定向量组A:1,2,···,m,如果存在不全为零的数k1,k2,···,km,使k11+k22+···+kmm=O则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关.定理3:向量组1,2,···,m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1,2,···,m)的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.定理2:向量组1,2,···,m(当m2时)线性相关的充分必要条件是1,2
5、,···,m中至少有一个向量可由其余m–1个向量线性表示.定理4:(1)若向量组A:1,2,···,m线性相关,则向量组B:1,2,···,m,m+1也线性相关;反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.(2)设即j添上一个分量后得向量j.若向量组A:1,2,···,m线性无关,则向量组B:1,2,···,m也线性无关;反言之,若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.(3)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关(4)设向量组A:1,2,···,m线性无关,而向量组B:1,2,···,m
6、,线性相关,则向量必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.定义:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量A0:1,2,···,r,满足(1)向量组A0:1,2,···,r,线性无关;(2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关.那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组).最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩.五、向量组的秩定理1:矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.定理2:设向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量组A的秩,即R(B)R(A).推论1:等价的向量组的秩相
7、等.推论2:设Cmn=AmsBsn,则R(C)R(A),R(C)R(B).推论3:设向量组B是向量组A的部分组,若向量组B线性无关,且向量组A能由向量组B线性表示,则向量组B是向量组A的一个最大无关组.六、向量空间定义:设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且集合V对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合V为向量空间.集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指:若,V,则+V;若V,R,则V.一般地,由向量组a1,a2,···,am所生成的向量空间为:七、子空间定义:设有向量空间V1及V2,若有V1V2.则称V1是V2的子空间.
8、八、基与维数定义:设V是向量空间,如果
