导数典型例题讲解.doc

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1、资料一:导数.知识点1.导数的概念例1.已知曲线y=上的一点P(0,0),求过点P的切线方程·解析:如图,按切线的定义,当x0时,割线PQ的极限位置是y轴(此时斜率不存在),因此过P点的切线方程是x=0.例2.求曲线y=x2在点(2,4)处的切线方程·解析:∵y=x2,∴y=(x0+x)2-x02=2x0x+(x)2=4x+(x)2∴k=.∴曲线y=x2在点(2,4)处切线方程为y-4=4(x-2)即4x-y-4=0.例3.物体的运动方程是S=1+t+t2,其中S的单位是米,t的单位是秒,求物体在t=5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5,5+t]内相应的平均速度.解析:∵S=1+t+

2、t2,∴S=1+(t+t)+(t+t)2-(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,∴,即,∴,即在[5,5+t]的一段时间内平均速度为(t+11)米/秒∴v(t)=S’=即v(5)=2×5+1=11.∴物体在t=5秒时的瞬时速度是11米/秒.例4.利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。解析:y=,∴=,∴=.例5.已知函数f(x)=,求函数f(x)在点x=0处的导数解析:由已知f(x)=0,即f(x)在x=0处有定义,y=f(0+x)-f(0)=,=,==0,即f’(0)=0.∴函数f(x)在x=0处导数为0.例6.已知函数f(x)=,判断f(x)在x=1处是否可导?解析:f(

3、1)=1,,,∵,∴函数y=f(x)在x=1处不可导.例7.已知函数y=2x3+3,求y’.解析:∵y=2x3+3,∴y=2(x+x)3+3-(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3,∴=6x2+6x·x+2(x)2,∴y’==6x2.例8.已知曲线y=2x3+3上一点P,P点横坐标为x=1,求点P处的切线方程和法线方程.解析:∵x=1,∴y=5,P点的坐标为(1,5),利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,∴y’=6,∴曲线在P点处的切线方程为y-5=6(x-1)即6x-y-1=0,又曲线在P点处法线的斜率为-,∴曲线在P点处法线方程为y-5=-(x-1),即6y

4、+x-31=0.例9.抛物线y=x2在哪一点处切线平行于直线y=4x-5?解析:∵y’==,令2x=4.∴x=2,y=4,即在点P(2,4)处切线平行于直线y=4x-5.例10.设mt≠0,f(x)在x0处可导,求下列极限值(1);(2).解析:要将所求极限值转化为导数f’(x0)定义中的极限形式。(1)=,(其中-m·x0)(2)=.(其中)例11.设函数f(x)在x=1处连续,且,求f’(1).解析:∵f(x)在x=1处连续,∴f(1).而又×2=0.∴f(1)=0.∴f’(1)=(将x换成x-1)即f’(1)=2.例12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),通过点(1,1

5、),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a,b,c的值.解析:由y’==,由函数在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,∴2a×2+b=1,又函数过点(1,1),(2,-1),∴a+b+c=1,4a+2b+c=-1,由三式解得a=3,b=-11,c=9.例13.设曲线y=sinx在点A(,)处切线倾斜角为θ,求tan(-θ)的值.解析:∵y=sinx,∴y=sin(x+x)-sinx=2cos(x+)sin,∴y’==.即y’=(sinx)’=cosx,令在A点处切线斜率为k=cos=,∴tanθ=,θ∈(0,π),∴tan(-θ)=H,例14.设f(x)是定义在R上的函数,

6、且对任何x1、x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),若f(0)≠0,f’(0)=1,证明:对任何x∈R,都有f(x)=f’(x)解析:由f(x1+x0)=f(x1)f(x2),令x1=x2=0得f(0)=f(0)f(0),又f(0)≠0∴f(0)=1由f’(0)=1即,∴f’(x)=.即f’(x)=f(x)成立.2.几种常见函数的导数例1.已知f(x)=x3,求f’(x),f’(1),(f(1))’,f’(0.5)解析:f(x)=x3,∴f’(x)=3x2,f’(1)=3,f’(0.5)=3×(0.5)2=0.75,(f(1))’=(1)’=0.说明:导函数与函数在某

7、点处导数要弄清区别与联系.后者是导函数的某一函数值,因此在求函数某一点处导数时可先求导函数,再直接求导函数值.例2.已知曲线y=x2上有两点A(1,1),B(2,4),求①割线AB的斜率;②在[1,1+x]内的平均变化率;③过点A处的切线斜率kAT;④点A处的切线方程.解析:①kAB==3;②平均变化率,③y’=2x,∴y’

8、x=1=2.即点A处的切线斜率为KAT=2.④点A处的切线方程为y-1=2(x-1)即2x-y-1=0.说明:通过本例搞清割线斜率,

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